Інтегрування заміною змінної

Метод заміни змінної — дуже потужний метод інтегрування. Під час інтегрування ми замінюємо частину функції іншою функцією, інтегруємо й підставляємо назад.

Основна формула

Нехай f — функція, а F — її первісна на проміжку J. Нехай також задано дійсну функцію $\phi$, диференційовну на проміжку I, причому $\phi(I) \subseteq J$. Тоді

$$ \int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t = F(\phi(t)). $$

Як ми дійшли від лівої частини до правої?

Цю теорему застосовуватимемо так: виберемо заміну $x = \phi(t)$ і змінимо змінну інтегрування — з dt отримаємо dx. Похідна x за t дорівнює $\frac{dx}{dt} = \phi^{\prime}(t)$, тож $dx = \phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t$. Інтеграл у лівій частині перетворюємо так: замінюємо $\phi(t)$ на x, а весь добуток $\phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t$ — на dx:

$$ \int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t = \int f(x) \mbox{ d}x $$

Далі за припущенням F є первісною функції f, тож увесь інтеграл можна замінити функцією F:

$$ \int f(x) \mbox{ d}x = F(x) $$

І наприкінці повертаємо заміну: замість x пишемо початкове $\phi(t)$:

$$ F(x) = F(\phi(t)) $$

Так ми отримали рівність із початку:

$$ \int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t = \ldots = F(\phi(t)). $$

Приблизно так ми й користуватимемося цією теоремою.

Перший приклад

Обчисли такий інтеграл:

$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t $$

Формулу для інтеграла від sin x (або тут від sin t) ми знаємо, а от формули для sin 6t — ні. Тому скористаємося заміною. Замінимо так: x = 6t. За попередньою формулою

$$ \int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t = \int f(x) \mbox{ d}x, $$

де $x = \phi(t)$. Для нашого випадку f = sin і $\phi(t) = 6t$. Отже, за формулою виконується така рівність:

$$ \int (\sin 6t) \cdot (6t)^{\prime} \mbox{ d}t = \int \sin x \mbox{ d}x, $$

де x = 6t. Проблема в тому, що ми хочемо обчислити інтеграл від sin 6t, а не від $(\sin 6t) \cdot (6t)^{\prime}$. Як із цього вийти? Спробуємо продиференціювати функцію 6t. Отримаємо:

$$ \int (\sin 6t) \cdot 6 \mbox{ d}t = \int \sin x \mbox{ d}x, $$

Число шість — це стала, яку можна винести за знак інтеграла:

$$ 6\cdot\int (\sin 6t) \mbox{ d}t = \int \sin x \mbox{ d}x, $$

Тепер поділімо всю рівність на шість:

$$ \int (\sin 6t) \mbox{ d}t = \frac16\cdot\int \sin x \mbox{ d}x, $$

У лівій частині вже стоїть початкова функція, яку ми на початку хотіли інтегрувати. Лишилося дообчислити інтеграл справа. Інтеграл від sin x дорівнює −cos x:

$$ \int (\sin 6t) \mbox{ d}t = \frac16\cdot(-\cos x), $$

А замість x підставимо назад 6t:

$$ \int (\sin 6t) \mbox{ d}t = -\frac16\cdot\cos 6t + C, $$

І це вже готовий результат.

Перший приклад простіше

Попередній спосіб був правильний, але зазвичай заміну записують трохи інакше. Ще раз умова:

$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t $$

Заміну запишемо в дужках після інтеграла так:

$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=6t\\ dx=6dt \end{bmatrix} $$

У перший рядок пишемо нашу заміну, тобто x = 6t. Тепер продиференціюємо обидві частини: ліву за x, а праву за t. У другому рядку першого стовпця завжди буде dx, бо похідна від x завжди дорівнює 1. Вираз dx лише означає, що ми диференціювали за x.

Праву частину диференціюємо цілком звичайно за t. Отримаємо $(6t)^{\prime} = 6$ і дописуємо dt, бо диференціювали за t. Щоб полегшити собі роботу, можна дописати ще й виражене dt:

$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt \end{bmatrix} $$

Наступним кроком виконуємо саму заміну. Що на що замінюватимемо? Замість 6t хочемо мати вираз x, це перша заміна. Оскільки ми підставляємо у функцію нову змінну x, то мусимо водночас змінити й dt. Замість dt підставимо виражене значення з третього рядка, тобто dx/6.

Підсумок: замість 6t пишемо x (перший рядок), а замість dt пишемо dx/6 (третій рядок). Отримуємо:

$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=6t\\ dx=6dt \end{bmatrix} = \int \sin x \frac{dx}{6} $$

Далі все цілком звичайно. Шістку виносимо за знак інтеграла:

$$ \int \sin x \frac{dx}{6} = \frac16\cdot\int \sin x dx $$

Інтегруємо синус:

$$ \frac16\cdot\int \sin x dx = \frac16 \cdot (-\cos x) $$

І підставляємо назад замість x вираз 6t:

$$ \frac16 \cdot (-\cos x) =

• \frac16 \cdot \cos 6t + C $$

Другий приклад

Обчисли інтеграл методом заміни змінної:

$$ \int \operatorname{tg} t \mbox{ d}t $$

Тангенс, мабуть, можна знайти в якихось таблицях, але цей інтеграл цілком можна обчислити й самому. Спершу розкладемо тангенс на частку sin/cos:

$$ \int \operatorname{tg} t \mbox{ d}t = \int \frac{\sin t}{\cos t} \mbox{ d}t $$

Заміну виберемо так: x = cos t. Отримаємо:

$$ \int \frac{\sin t}{\cos t} \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=\cos t\\ dx=-\sin t \mbox{ d}t \end{bmatrix} $$

Тепер виразимо dt:

$$ dt=-\frac{dx}{\sin t} $$

Тепер можна підставити в інтеграл. Замість cos t пишемо x, а замість dt пишемо −dx/sin t.

$$ \int \frac{\sin t}{\cos t} \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=\cos t\\ dx=-\sin t \mbox{ d}t\\ \end{bmatrix} = \int -\frac{\sin t}{x}\cdot\frac{dx}{\sin t} $$

Невелика проблема в тому, що у виразі залишилася попередня змінна інтегрування t, а саме в синусі. На щастя, обидва синуси скорочуються, і лишається:

$$ \int -\frac{\sin t}{x}\cdot\frac{dx}{\sin t} = \int -\frac{dx}{x} $$

Розпишемо це трохи, щоб отримати гарніший вираз. dx перенесемо за дріб, а в чисельник впишемо одиницю. Мінус винесемо перед інтеграл:

$$ \int -\frac{dx}{x} = -\int \frac{1}{x} \mbox{ d}x $$

Інтеграл від 1/x ми вже знаємо, це логарифм. Отже, отримуємо:

$$ -\int \frac{1}{x} \mbox{ d}x = -\ln |x| $$

І ще підставимо назад замість x початковий cos t.

$$ -\int \frac{1}{x} \mbox{ d}x = -\ln |x| = -\ln |\cos t| + C $$

Третій приклад

Обчисли інтеграл методом заміни змінної:

$$ \int x \cdot \sin^3 t \mbox{ d}t $$

Тебе може збентежити, що в підінтегральній функції дві змінні: x і t. Це зовсім не заважає, бо з dt ми знаємо, що інтегруємо за змінною t, а x поводиться як стала. Тож не лякаймося й перенесімо x перед інтеграл:

$$ \int x \cdot \sin^3 t \mbox{ d}t = x\cdot\int \sin^3 t \mbox{ d}t $$

Формул для sin³ у нас небагато, а от для sin² дещо знайдеться, тож перетворимо функцію так:

$$ x\cdot\int \sin^3 t \mbox{ d}t = x\cdot\int \sin^2t\cdot\sin t \mbox{ d}t $$

Тепер розкладемо sin² за формулою sin²t = (1−cos²t). Отримуємо інтеграл:

$$ x\cdot\int \sin^2t\cdot\sin t \mbox{ d}t = x\cdot\int (1-\cos^2t)\cdot\sin t \mbox{ d}t $$

Тепер виконаємо заміну. Змінну x уже зайнято, тому візьмемо, наприклад, y. І виберемо y = cos t

$$ x\cdot\int (1-\cos^2t)\cdot\sin t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} y=\cos t\\ dy = -\sin t dt\\ \end{bmatrix} $$

Виразимо dt:

$$ dt=-\frac{dy}{\sin t} $$

І підставимо в інтеграл:

$$ x\cdot\int (1-\cos^2t)\cdot\sin t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} y=\cos t\\ dy = -\sin t dt\\ \end{bmatrix}= -x\cdot\int(1-y^2)\cdot\sin t \cdot \frac{dy}{\sin t} $$

Синуси знову гарно скорочуються:

$$ -x\cdot\int(1-y^2)\cdot\sin t \cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot\int(1-y^2) \cdot dy $$

Цей інтеграл уже можна розкласти на два:

$$ -x\cdot\int(1-y^2) \cdot dy=-x\cdot\left(\int1 \mbox{ d}y-\int y^2 \mbox{ d}y \right) $$

Це все табличні значення:

$$ -x\cdot\left(\int1 \mbox{ d}y-\int y^2 \mbox{ d}y \right)=-x\cdot\left(y-\frac{y^3}{3}\right) $$

Тепер підставимо назад замість y початковий cos t:

$$ -x\cdot\left(y-\frac{y^3}{3}\right)=-x\cdot \left(\cos t-\frac{\cos^3t}{3}\right)+ C $$

Це й є остаточний результат.