Медіана трикутника

Медіана трикутника — це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Трикутник має рівно три медіани, а точка їхнього перетину — це центр ваги (точка перетину медіан) трикутника.

Приклад

Подивися на наступний трикутник із позначеними медіанами: Червоним позначено окремі медіани. Подібно до висот трикутників, медіани ми теж позначаємо малою літерою m з нижнім індексом, який указує, до якої сторони та з якої вершини проведено медіану. Оскільки навпроти вершини A лежить сторона a, медіана матиме назву m_a.

Медіана ділить трикутник на два трикутники з однаковою площею. На відміну від висоти трикутника, медіани виглядають однаково в усіх типах трикутників.

Середина відрізка

Три точки A₁, B₁ і C₁ — це середини відповідних сторін, тобто відрізків. Середину можна знайти за допомогою циркуля й лінійки. Наприклад, середину сторони AB знайдеш так: проведи два однакові кола з центрами у вершинах A і B. Радіус цих кіл має бути більший за половину довжини відрізка AB, але в обох кіл він має бути той самий! Можеш або прикинути на око, або провести коло з радіусом, що дорівнює довжині сторони AB. Ці два кола перетнуться у двох точках. Сполучи ці точки відрізком, і там, де цей відрізок перетне сторону AB, лежить середина сторони AB.

Зеленим на рисунку виділено центр ваги трикутника — уявний центр трикутника.

Центр ваги

Усі медіани завжди перетинаються в одній точці. Так можна перевірити, чи побудову виконано правильно. Якщо ж вони не сходяться в одній точці, то побудову виконано або неточно, або взагалі неправильно. Центр ваги завжди лежить усередині трикутника, на відміну від ортоцентра, який може лежати й поза трикутником.

Центр ваги — це уявний центр трикутника: якби ти хотів утримати трикутник на вістрі олівця, то олівець треба підставити саме під центр ваги, щоб трикутник не впав.

Центр ваги також ділить медіани у відношенні 1 : 2. Це означає, що дві третини довжини медіани лежать з одного боку від центра ваги, а решта одна третина — з іншого. Довша частина медіани завжди йде «до вершини» трикутника, а «біля сторони» лежить коротша частина. Подивися на рисунок:

Довжина відрізка AM (синій відрізок) удвічі більша за довжину відрізка MA₁ (зелений відрізок). При цьому відрізки AD, DM і MA₁ мають однакову довжину. Так само й для інших медіан.

Середня лінія

Середня лінія — це відрізок, кінцями якого є середини двох сторін трикутника. Подивися на рисунок:

Точки A₁, B₁ і C₁ — середини сторін, як і у випадку медіан. Щоб утворити середні лінії, ми просто сполучили відрізком кожні дві з цих точок. Середні лінії позначаємо літерою s з нижнім індексом, де вказуємо протилежну вершину. Трикутник, що в результаті утворюється, називають серединним трикутником. Цікаво, що центр ваги цього серединного трикутника збігається з центром ваги початкового трикутника. У нашому випадку це точка M.

Обчислення довжини медіани

Для обчислення довжини медіани можна скористатися теоремою Аполлонія. Припустімо, що a, b, c — довжини відповідних сторін трикутника, а m_a, m_b і m_c — довжини медіан:

$$\begin{eqnarray} m_a&=&\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ m_b&=&\sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ m_c&=&\sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}} \end{eqnarray}$$