Площа трикутника

Площу трикутника можна знайти двома основними способами. Або добудуємо трикутник до паралелограма й обчислимо площу цього паралелограма, або скористаємося формулою Герона.

Добудова до паралелограма

Спершу згадаємо, як ми обчислювали площу трикутника, коли йшлося про прямокутний трикутник. Ми добудовували трикутник до прямокутника, обчислювали площу цього прямокутника й ділили результат на два. Графічно це показує наступний рисунок:

Проте трикутник, який не є прямокутним, так просто до прямокутника не добудуєш. Зате його можна добудувати до паралелограма. Отже, нехай маємо такий трикутник ABC:

Цей трикутник добудовуємо до паралелограма так: із точки C проводимо відрізок, паралельний відрізку AB і такої самої довжини. Потім проводимо відрізок із точки A так, щоб він був паралельний відрізку BC і такої самої довжини. Отримаємо такий паралелограм:

Питання в тому, як обчислити площу цього паралелограма. Двох сусідніх сторін, як у прямокутника, перемножити не можна. Однак із цього паралелограма легко утворити прямокутник, що матиме таку саму площу, як паралелограм. Виділені червоним трикутники мають однакову площу:

Якщо трикутник AED перенесемо на місце трикутника BFC, то отримаємо прямокутник з такою самою площею:

Це вже прямокутник, і його площа дорівнює добутку довжин двох сусідніх сторін. Але яка довжина сторони AE або BF? Якщо уважно подивитися на початковий трикутник ABC, виділений жирним, то побачимо, що довжина сторони AE точно дорівнює довжині висоти трикутника з вершини C. Що ж тоді можна записати про площу цього прямокутника? Що вона дорівнює:

$$S_{\square}=|h_c|\cdot|AB|,$$

де h_c — висота з вершини C. Площа трикутника тоді дорівнює половині цієї площі:

$$S_{\triangle}=\frac{|h_c|\cdot|AB|}{2}.$$

Остаточна формула

Формулу з попереднього розділу, звісно, можна узагальнити на будь-яку з трьох сторін:

$$\begin{eqnarray} S_{\triangle}&=&\frac{|h_a|\cdot|a|}{2},\\ S_{\triangle}&=&\frac{|h_b|\cdot|b|}{2},\\ S_{\triangle}&=&\frac{|h_c|\cdot|c|}{2}. \end{eqnarray}$$

Тут h_a, h_b і h_c — висоти, проведені до сторін a, b і c.

Формула Герона

Якщо ти не знаєш довжини жодної висоти трикутника, але знаєш довжини всіх сторін, то площу можна обчислити за формулою Герона. Вона має такий вигляд:

$$S_{\triangle}=\sqrt{p\cdot(p-a)\cdot(p-b)\cdot(p-c)},$$

де

$$p=\frac{a+b+c}{2}$$

— півпериметр трикутника.