Висота трикутника

Висота трикутника — це відрізок. Одним кінцем відрізка є вершина трикутника, а другим — точка на протилежній стороні трикутника, причому сама висота має бути перпендикулярна до цієї сторони.

Гострокутний трикутник

Найкраще це видно на рисунку:

Висоту ми провели з вершини C. Друга точка лежить на протилежній стороні AB (тобто стороні c), а відрізок CH_c перпендикулярний до сторони c. Точку H_c називають основою висоти, а сторону c — основою трикутника. Основу висоти зазвичай позначають літерою H з нижнім індексом, де вказано вершину, з якої виходить висота. У цьому випадку це вершина C.

Висоту будувати досить легко: береш косинець і проводиш перпендикуляр до сторони c так, щоб він пройшов саме через точку C. Це все.

Висоту можна провести з кожної вершини трикутника. Усі висоти перетинаються в точці, яку називають ортоцентром. Ортоцентр може лежати всередині трикутника, а може й не лежати. У гострокутному трикутнику ортоцентр лежить усередині трикутника:

Червоним позначено всі три висоти трикутника. Зверни увагу, що кожна висота перпендикулярна до своєї сторони. Висоти позначають малою літерою h з нижнім індексом, де вказано вершину, з якої виходить висота. Тому для висоти BH_b говоримо про висоту h_b. Сам ортоцентр позначено зеленою точкою H.

Тупокутний трикутник

У тупокутному трикутнику доведеться вдатися до невеликої хитрості. Ортоцентр лежить поза трикутником, а деякі висоти насправді не можуть перетнути сторони, які мали б перетнути. Це розв'язують так: потрібні сторони трикутника «продовжують» настільки, щоб усе зійшлося. Знову подивися на рисунок: Вихідним є трикутник ABC, виділений жирним. Цей трикутник тупокутний: кут ACB більший за 90 градусів. Висоту з вершини C ми проводимо без проблем, а от із висотою з вершини B буде клопіт. Перпендикуляра до сторони AC, який перетинав би і сторону AC, і вершину B, ми не знайдемо. Розв'язуємо це так: будуємо промінь AC і таким чином продовжуємо сторону AC настільки, наскільки треба. Перпендикуляр шукаємо на цьому промені. Тут перпендикуляр уже існує. Основа перпендикуляра лежить на новому промені. Так само будуємо й останню висоту.

Тепер у нас побудовано всі три висоти трикутника. Проблема в тому, що ці висоти ніколи не перетинаються, тож ортоцентра не утворюють. Це виправляємо так: будуємо три нові промені в напрямку висот так, щоб вони десь над трикутником перетнулися. Самі висоти при цьому ніяк не змінюємо.

Прямокутний трикутник

У прямокутному трикутнику усе найпростіше, бо дві висоти збігаються з двома сторонами трикутника, а саме з катетами. Ортоцентр тоді лежить у вершині, протилежній гіпотенузі.

Довжина висоти

Іноді потрібно обчислити довжину висоти. Виходимо з рисунка для висоти в гострокутному трикутнику.

Там позначено висоту h_c, тож спробуємо обчислити її довжину. Висота h_c, звісно, перпендикулярна до сторони AB, чим ми можемо скористатися. Утворимо новий трикутник, у якому висоту обчислити легше. Трикутник утворимо з вершин B, C і H_c. На рисунку його виділено червоним:

Тепер скористаємося тригонометричними функціями. Для цього нам ще потрібно знати кут при вершині B, кут β. Тоді це проста задача на синус, який дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи. Протилежний катет тут — це h_c, гіпотенуза — сторона CB. Отже, виконується:

$$\begin{eqnarray} \sin(\beta)&=&\frac{|h_c|}{|BC|}\\ |h_c|&=&\sin(\beta)\cdot|BC| \end{eqnarray}$$

Кут β має величину приблизно $53^\circ8^{\prime}$, а сторона BC має довжину 5. Після підстановки отримуємо:

$$|h_c|=\sin(53^\circ8^{\prime})\cdot5=0{,}8\cdot5=4.$$

Висота h_c має довжину чотири.