Властивості синуса, косинуса, тангенса і котангенса

Синус і косинус — основні тригонометричні функції.

Синус

Синус кута альфа дорівнює відношенню довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи в прямокутному трикутнику.

$$\sin(\alpha)=\frac{\mbox{довжина протилежного катета}}{\mbox{довжина гіпотенузи}}$$

Графіком функції синус є крива, яку називають синусоїдою. Графік можна побачити на наступному малюнку:

Синус — періодична функція з найменшим додатним періодом 2π. Інші властивості:

• Область визначення — множина всіх дійсних чисел.
• Область значень — відрізок [−1; 1].
• Синус має максимум у нескінченній кількості точок. А саме «перший» максимум він має в точці $x=\frac{\pi}{2}$, а оскільки це періодична функція, то максимум є також у кожній точці $\frac{\pi}{2}+2k\pi$, де k — ціле число. Значення максимуму дорівнює 1.
• Аналогічно для мінімуму: синус має мінімум у точках $-\frac{\pi}{2}+2k\pi$, де k — ціле число, і його значення дорівнює −1.
• Синус — непарна й обмежена функція.

Косинус

Косинус кута альфа дорівнює відношенню довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи в прямокутному трикутнику. Тож якщо на калькуляторі обчислити косинус кута альфа, ми отримаємо значення частки

$$\cos(\alpha)=\frac{\mbox{довжина прилеглого катета}}{\mbox{довжина гіпотенузи}}.$$

Графіком функції косинус є крива, яку називають косинусоїдою. Графік можна побачити на наступному малюнку:

Косинус — періодична функція з найменшим додатним періодом 2π. Інші властивості:

• Область визначення — множина всіх дійсних чисел.
• Область значень — відрізок [−1; 1].
• Косинус має максимум у нескінченній кількості точок. А саме «перший» максимум він має в точці x = 0, а оскільки це періодична функція, то максимум є також у кожній точці 2kπ, де k — ціле число. Значення максимуму дорівнює 1.
• Аналогічно для мінімуму: косинус має мінімум у точках π + 2kπ, де k — ціле число, і його значення дорівнює −1.
• Косинус — парна й обмежена функція.

Тангенс

Тангенс кута альфа дорівнює відношенню довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета в прямокутному трикутнику. Тангенс зазвичай позначають $\operatorname{tg}$ (в англомовній літературі та на калькуляторах також $\tan$).

$$\operatorname{tg}(\alpha)=\frac{\mbox{довжина протилежного катета}}{\mbox{довжина прилеглого катета}}$$

Графіком цієї функції є крива, яку називають тангенсоїдою:

Тангенс відрізняється від попередніх функцій передусім періодом, який уже не 2π, а лише π. Інші властивості:

• Область визначення — множина

$$D(\operatorname{tg})=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}\quad k\in\mathbb{Z}$$

• Область значень — множина всіх дійсних чисел.
• Тангенс не має ні максимуму, ні мінімуму й не є обмеженою функцією.
• Тангенс — непарна функція.

Котангенс

Котангенс кута альфа дорівнює відношенню довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета. Котангенс позначають $\operatorname{ctg}$ (в англомовній літературі та на калькуляторах також $\cot$).

$$\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{\mbox{довжина прилеглого катета}}{\mbox{довжина протилежного катета}}$$

Графіком цієї функції є крива, яку називають котангенсоїдою:

Інші властивості:

• Період також дорівнює π, як і в тангенса.
• Область визначення — множина

$$D(\operatorname{ctg})=\mathbb{R}\setminus\left\{k\pi\right\};\quad k\in\mathbb{Z}$$

• Область значень — множина всіх дійсних чисел.
• Котангенс не має ні максимуму, ні мінімуму й не є обмеженою функцією.
• Котангенс — непарна функція.

Зв'язок між синусом і косинусом

Тригонометричні функції тісно пов'язані між собою. Якщо подивитися на графік функцій синус і косинус одночасно, побачимо, що вони майже не відрізняються: одна лише трохи зсунута відносно другої.

Тож якщо до аргумента функції синус завжди додавати π/2, отримаємо функцію косинус:

І навпаки, якщо від аргумента косинуса відняти π/2, отримаємо синус.

Отже, можемо записати такі формули:

$$\begin{eqnarray} \sin(x)&=&\cos(x-\frac{\pi}{2})\\ \cos(x)&=&\sin(x+\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray}$$

Як виразити тангенс і котангенс

Функцію тангенс легко виразити через синус і косинус. Досить пригадати, що таке тангенс: відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета. Візьмімо на допомогу такий трикутник:

Чому дорівнює тангенс кута бета?

$$\operatorname{tg}(\beta)=\frac{|b|}{|c|}.$$

Як можна виразити чисельник або знаменник? Чому дорівнюють довжини сторін b і c? Ми знаємо, що синус кута бета дорівнює:

$$\sin(\beta)=\frac{|b|}{|a|}$$

З цієї формули виразимо |b|:

$$|b|=\sin(\beta)\cdot|a|$$

Косинус кута бета дорівнює:

$$\cos(\beta)=\frac{|c|}{|a|}$$

Виразимо |c|:

$$|c|=\cos(\beta)\cdot|a|$$

Тепер довжини сторін b і c у нас виражено через функції синус і косинус. Підставимо ці проміжні результати у вихідну рівність із тангенсом:

$$\operatorname{tg}(\beta)=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin(\beta)\cdot|a|}{\cos(\beta)\cdot|a|}$$

У чисельнику й знаменнику можна скоротити |a|, і ми отримаємо остаточну формулу:

$$\operatorname{tg}(\beta)=\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$$

Тангенс можна записати як частку синуса й косинуса. Без виведення скажімо, що котангенс можна записати як обернений дріб, тобто частку косинуса й синуса.

$$\begin{eqnarray} \operatorname{tg}(\alpha)&=&\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\\ \operatorname{ctg}(\alpha)&=&\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \end{eqnarray}$$

Зв'язок між тангенсом і котангенсом

Подібно до того, як схожі функції синус і косинус, схожі й функції тангенс і котангенс. Поглянь на обидва графіки на одному малюнку:

Як із кривої, що описує тангенс, зробити криву, що описує котангенс? Котангенс зсунутий на π/2, із цього й почнемо:

Ми вже наблизилися до котангенса, але криві все ще спрямовані не в той бік: на вибраних проміжках котангенс спадає, а ця зсунута крива зростає. Виправимо це зміною знака змінної x:

Отже, можемо записати:

$$\operatorname{ctg}(x)=\operatorname{tg}(-x+\frac{\pi}{2})$$

Табличні значення

Синус, косинус, тангенс і котангенс для деяких «гарних» кутів мають гарні значення. Ось їхній основний перелік:

$$ \LARGE \begin{matrix} &\sin&\cos&\operatorname{tg}&\operatorname{ctg}\\ 0^\circ&0&1&0&\times\\ 30^\circ&\frac12&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{3}&\sqrt{3}\\ 45^\circ&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&1&1\\ 60^\circ&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac12&\sqrt{3}&\frac{\sqrt{3}}{3}\\ 90^\circ&1&0&\times&0 \end{matrix} $$