Dàn

Dàn là một tập sắp thứ tự có thêm tính chất: với hai phần tử bất kì của dàn luôn tồn tại cận trên đúng (supremum) và cận dưới đúng (infimum), và chúng cũng thuộc dàn đó.

Tập trên và tập dưới

Xuất phát từ một tập hợp M với một thứ tự ≤ nào đó. Thứ tự này có thể tuỳ ý, nhưng phải thoả mãn các điều kiện của quan hệ thứ tự.

Tiếp theo lấy một phần tử a thuộc tập hợp M. Tập trên của phần tử a trong tập hợp M được định nghĩa là tập tất cả các x ∈ M lớn hơn hoặc bằng a, tức là thoả mãn a ≤ x.

Nếu lấy tập hợp là tập các số tự nhiên khác 0 và phần tử a = 7 thì tập trên là tập các số {7; 8; 9; …}. Trên tập số thực, ta được nửa khoảng [7; +∞).

Ta cũng có thể lấy tập hợp M = 2^ℕ — đây là tập luỹ thừa, tức là tập hợp tất cả các tập con của tập số tự nhiên, hay mọi tập hợp có thể tạo thành từ các số tự nhiên. Thứ tự ở đây là quan hệ tập con. Chẳng hạn ta có {3; 5} ≤ {3; 4; 5}, v.v.

Tập trên của tập hợp {1; 2; 3; 4} gồm tất cả các tập hợp chứa các phần tử 1, 2, 3, 4. Chẳng hạn tập hợp {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9} hoặc {1; 2; 3; 4; 2323; 454645}. Bản thân tập hợp {1; 2; 3; 4} cũng thuộc tập trên này.

Tập dưới được định nghĩa tương tự — nó gồm các phần tử nhỏ hơn hoặc bằng phần tử a. Với a = 7 và M là tập số nguyên dương, ta được tập hợp {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, tức là các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 7.

Với tập hợp {1; 2; 3; 4}, ta được tất cả các tập con của tập hợp này.

Tập trên và tập dưới của nhiều phần tử

Ở phần trước, ta đã định nghĩa tập trên và tập dưới cho một phần tử. Nhưng cũng có thể định nghĩa chúng cho nhiều phần tử. Cho tập hợp M và hai phần tử a, b. Tập trên chung của chúng gồm các phần tử đồng thời lớn hơn hoặc bằng cả a lẫn b. Nói cách khác, ta tìm tập trên của từng phần tử rồi lấy giao của chúng. Khi đó ta được các phần tử chắc chắn lớn hơn a và đồng thời lớn hơn b.

Vẫn xét các số nguyên dương: a = 3, b = 5. Tất cả các phần tử lớn hơn hoặc bằng a tạo thành tập hợp {3; 4; 5; 6; …}, còn lớn hơn hoặc bằng b: {5; 6; 7; 8; …}. Lấy giao, ta lại được tập hợp {5; 6; 7; 8; …}. Với tập sắp thứ tự toàn phần, chỉ cần tìm phần tử lớn hơn trong hai phần tử rồi tìm tập trên của nó.

Với các tập hợp thì không đơn giản như vậy. Thử tìm tập dưới của hai tập hợp a = {1; 2; 3} và b = {2; 3; 4}. Đó là tất cả các tập hợp đồng thời là tập con của a và của b. Chẳng hạn tập hợp {1; 2; 3} có phải tập con của a không? Có. Có phải tập con của b không? Không. Vậy tập hợp này không thuộc tập dưới.

Ta thử xem tập hợp lớn nhất là tập con của cả a lẫn b là tập nào. Rõ ràng đó là tập hợp {2; 3}, chính là giao a ∩ b. Nó thuộc tập dưới, và mọi tập con của nó cũng vậy. Chẳng hạn nếu ∅ ⊆ {2; 3} và đồng thời {2; 3} ⊆ a ∧ {2; 3} ⊆ b thì chắc chắn ∅ ⊆ a ∧ ∅ ⊆ b. Điều này suy ra từ tính bắc cầu.

Cuối cùng, ta định nghĩa tập trên và tập dưới cho cả một tập hợp, không chỉ cho một cặp phần tử. Cho tập hợp M và một tập hợp A ⊆ M mà ta muốn tìm tập trên và tập dưới. Khi đó:

$$\begin{array}{rcl}H(A)& =& \{x\mid \mathrm{\forall }a\in A:x\ge a\}\\ D(A)& =& \{x\mid \mathrm{\forall }a\in A:x\le a\}\end{array}$$

Cận trên đúng và cận dưới đúng

Nhờ tập trên và tập dưới, ta dễ dàng định nghĩa cận dưới đúng và cận trên đúng. Cho tập hợp M và phần tử a ∈ M. Cận trên đúng và cận dưới đúng của phần tử a đều chính là phần tử a.

Nhưng muốn tìm cận trên đúng của hai phần tử a, b thuộc M thì phải làm khác. Cận trên đúng của hai phần tử a, b, kí hiệu là a ∨ b hoặc sup(a, b), bằng phần tử nhỏ nhất của tập trên của a, b. Tức là ta tìm tất cả các phần tử lớn hơn hoặc bằng a và b, rồi chọn trong đó phần tử nhỏ nhất. Không phải phần tử cực tiểu, mà là phần tử nhỏ nhất. Nói chung phần tử nhỏ nhất có thể không tồn tại, nên cận trên đúng cũng có thể không tồn tại.

Khi tìm cận dưới đúng, trước hết ta tìm tập dưới của hai phần tử, rồi tìm phần tử lớn nhất của nó.

Ví dụ: ta đã biết tập trên của hai số 3 và 5 là tập hợp {5; 6; 7; …}. Phần tử nhỏ nhất bằng 5. Vậy sup(3, 5) = 5.

Ta cũng biết tập dưới của hai tập hợp a = {1; 2; 3} và b = {2; 3; 4} là tập hợp tất cả các tập con của tập hợp {2; 3}, gồm các tập hợp: {2; 3}, {2}, {3}, ∅. Trong đó tập hợp lớn nhất chính là {2; 3}. Vậy tập hợp này là cận dưới đúng của hai tập hợp a, b, kí hiệu là a ∧ b = {2; 3} hoặc inf(a, b) = {2; 3}.

Định nghĩa dàn

Dàn S là một tập sắp thứ tự mà với hai phần tử bất kì a, b ∈ S đều tồn tại cận trên đúng và cận dưới đúng, đồng thời cận dưới đúng và cận trên đúng đó thuộc tập hợp S. Như vậy có thể viết: tập sắp thứ tự S là một dàn nếu

$$\mathrm{\forall }a,b\in S:sup(a,b)\in S\text{và}inf(a,b)\in S$$

Một ví dụ đơn giản về dàn là tập số thực với thứ tự thông thường. Ở đây sup(a, b) = max(a, b) và inf(a, b) = min(a, b), đều luôn là số thực.

Họ các tập hợp với thứ tự theo quan hệ tập con như đã xét ở trên cũng là một dàn. Ở đây sup(a, b) = a ∪ b và inf(a, b) = a ∩ b, lại là những tập hợp thuộc họ đó.

Nếu lấy họ S gồm tất cả các tập con có 2 phần tử của tập số tự nhiên (ví dụ {1; 2}, {7; 19}, …) thì họ này không phải là dàn, vì chẳng hạn sup({1; 2}, {3; 4}) = {1; 2; 3; 4}, mà tập hợp {1; 2; 3; 4} không phải là phần tử của họ các tập con có 2 phần tử của tập số tự nhiên.