Ma trận nghịch đảo

Ma trận nghịch đảo được định nghĩa cho các ma trận vuông khả nghịch. Tích của một ma trận với ma trận nghịch đảo của nó là ma trận đơn vị.

Định nghĩa

Chỉ tính được ma trận nghịch đảo của ma trận vuông; ma trận chữ nhật không có ma trận nghịch đảo. Hơn nữa, ma trận nghịch đảo của ma trận A (kí hiệu là A⁻¹) chỉ tồn tại khi ma trận đó khả nghịch (không có các dòng phụ thuộc tuyến tính). Khi đó ma trận nghịch đảo được xác định duy nhất. Hai tính chất chính của ma trận nghịch đảo là:

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

Và tính chất quan trọng nhất của ma trận nghịch đảo (cũng chính là định nghĩa của nó):

$$A\cdot A^{-1}=E$$

E là ma trận đơn vị.

Cách tính ma trận nghịch đảo

Bây giờ ta xem cách tính ma trận nghịch đảo. Thuật toán đơn giản nhất là phương pháp khử Gauss: ta biến đổi ma trận A thành ma trận đơn vị, đồng thời viết bên cạnh nó một ma trận đơn vị và thực hiện trên ma trận này đúng những phép biến đổi đã làm với ma trận A. Khi kết thúc, bên trái là ma trận A đã biến đổi thành ma trận đơn vị, còn bên phải là ma trận nghịch đảo. Thử với một ví dụ đơn giản:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Nhìn qua cũng thấy ma trận khả nghịch, nên việc tìm ma trận nghịch đảo là có nghĩa. Khi tính ma trận nghịch đảo, ta thường viết dưới dạng:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)$$

Bây giờ biến đổi ma trận bên trái thành ma trận đơn vị và thực hiện đúng các phép biến đổi đó với ma trận bên phải. Cộng vào dòng thứ hai −3 lần dòng thứ nhất. Trước hết với ma trận bên trái:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$

Rồi cộng vào dòng thứ hai của ma trận bên phải −3 lần dòng thứ nhất của ma trận bên phải:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Tiếp theo cần có số 0 ở vị trí a₁₂. Chỉ cần cộng dòng thứ hai vào dòng thứ nhất. Lần này ta làm cả hai phép biến đổi trong một bước:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Cuối cùng, để bỏ số −2, ta chia cả dòng cho −2:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Ma trận nghịch đảo là:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Muốn kiểm tra ma trận nghịch đảo vừa tính có đúng không, hãy nhân nó với ma trận ban đầu:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Có thể kiểm tra bằng WolframAlpha.

Tính bằng định thức

Cũng có thể tính ma trận nghịch đảo bằng định thức. Nếu A là ma trận khả nghịch thì các phần tử $a_{ij}^{-1}$ của ma trận nghịch đảo A⁻¹ bằng:

$$a_{ij}^{-1}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

Chú ý rằng ở vế trái là i,j, nhưng ở tử số lại là j,i; việc đổi chỗ này không phải do in nhầm. Ở tử số là ma trận A_j,i, tức là ma trận con của ma trận A thu được khi bỏ đi dòng thứ j và cột thứ i của ma trận A. Như vậy nếu

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

thì:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{⧸}1& \text{⧸}2& \text{⧸}3\\ \text{⧸}4& 5& 6\\ \text{⧸}7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right),A_{1,3}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right),A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right)$$

Nếu không thích các chỉ số bị đổi chỗ, ta có thể viết như sau:

$$(a_{ij}^{-1}{)}^T=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Tức là nếu không đổi chỗ các chỉ số, ta tính được ma trận chuyển vị của ma trận nghịch đảo. Chuyển vị ma trận đó một lần nữa thì được ma trận nghịch đảo.

Tính theo cách này thường dài dòng; phương pháp này chủ yếu thích hợp cho máy tính, vì cách tính đi thẳng theo công thức, không cần suy nghĩ thêm. Trong ví dụ, ta chỉ tính thử 2 phần tử. Cho ma trận:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right)$$

Trước hết tính định thức của cả ma trận, định thức này nằm ở mẫu số của phân số:

$$det(A)=-1$$

Bây giờ tính phần tử đầu tiên của ma trận nghịch đảo, kí hiệu là $a_{11}^{-1}$. Phần tử này bằng:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+1}\cdot \left|A_{1,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Ta cần ma trận con A_1,1. Bỏ dòng thứ nhất và cột thứ nhất, ta được:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right)$$

Bây giờ tính định thức của ma trận này:

$$det(A_{1,1})=8$$

Và giờ có thể thay vào công thức:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^2\cdot 8}{-1}=\frac{1\cdot 8}{-1}=-8$$

Ta có kết quả đầu tiên của ma trận nghịch đảo.

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Số thứ hai tìm như sau:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+2}\cdot \left|A_{2,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Định thức của ma trận con bằng

$$det(A_{2,1})=\left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -5& -1\end{array}\right|=29$$

Thay tất cả vào, ta được:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^3\cdot 29}{-1}=\frac{-1\cdot 29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Thêm một mảnh ghép nữa:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 29& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Và cứ thế tiếp tục.