Không gian vectơ

Không gian vectơ, còn gọi là không gian tuyến tính, là một tập hợp các phần tử thoả mãn một số tính chất, nhờ đó các phần tử của tập hợp này, gọi là các vectơ, có những tính chất “đẹp”.

Ví dụ về không gian vectơ

Trước khi định nghĩa không gian vectơ, ta xem một ví dụ mà bạn đã biết từ THPT, chỉ là chưa biết rằng đó là một không gian vectơ: các vectơ thông thường trong mặt phẳng.

Vectơ trong mặt phẳng là một cặp có thứ tự (a; b), trong đó a, b ∈ ℝ. Đó là toạ độ bất kì trong không gian ℝ² (tức là tích Descartes ℝ × ℝ). Có thể biểu diễn vectơ như vậy bằng một mũi tên đi từ điểm (0; 0) đến điểm (a; b). Vectơ (2; 3) trông như sau:

Ta biết rằng có thể cộng các vectơ theo quy tắc (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d). Tổng của hai vectơ (2; 3) + (4; 1) là vectơ (2 + 4; 3 + 1) = (6; 4). Biểu diễn hình học như sau:

Ta cũng có thể tính tích của vectơ với số k, trong đó k là một số thực. Tích này viết là k · (a; b). Kết quả là một vectơ mới, định nghĩa là k · (a; b) = (k · a; k · b). Về mặt hình học, vectơ bị “kéo dài”, “co ngắn” hoặc đổi hướng. Với vectơ u = (2; 3), các vectơ 2 · u, $\frac{1}{2}u$ và −1 · u trông như sau:

Ở phần sau ta sẽ chứng minh rằng tập hợp tất cả các vectơ ℝ² với các phép toán định nghĩa như trên tạo thành một không gian vectơ. Trước hết ta định nghĩa không gian vectơ, rồi minh hoạ từng tính chất trên không gian vectơ ℝ² này.

Định nghĩa không gian vectơ

Không gian vectơ (còn gọi là không gian tuyến tính) là một tập hợp khác rỗng V, các phần tử của nó gọi là vectơ. Ngoài ra trên tập hợp phải có hai phép toán: phép cộng vectơ, tức là ánh xạ V × V ⟶ V, và phép nhân vectơ với số thực, tức là ánh xạ ℝ × V ⟶ V. (Tổng quát hơn, thay cho tập số thực có thể dùng một trường bất kì, nhưng điều này sẽ bàn ở các bài sau.) Phép cộng vectơ kí hiệu là +, phép nhân kí hiệu là ·. Hai phép toán này phải thoả mãn các điều kiện sau, tức là với mọi x, y, z ∈ V và với mọi a, b ∈ ℝ phải có (để ý rằng các vectơ x, y, z được in đậm, còn các số a, b thì in thường):

1. x + y = y + x: phép cộng vectơ có tính chất giao hoán. Trở lại ví dụ với các vectơ trong ℝ²: cộng hai vectơ theo thứ tự (2; 3) + (4; 1) hay theo thứ tự ngược lại (4; 1) + (2; 3) đều như nhau.

• (x + y) + z = x + (y + z): phép cộng vectơ có tính chất kết hợp. Thay vào một vài vectơ của ℝ², ta lại thấy đẳng thức đúng.
• a · (b · x) = (a · b) · x: tính chất kết hợp của phép nhân. Với các vectơ của ta, 4 · (5 · (6; 7)) cũng chính là (4 · 5) · (6; 7). Cả hai đều cho vectơ (20 · 6; 20 · 7).
• a · (x + y) = a · x + a · y: tính chất phân phối đối với phép cộng các vectơ của V. Ta lại thấy 2 · ((2; 3) + (4; 5)) cũng chính là 2 · (2; 3) + 2 · (4; 5). Cả hai biểu thức đều cho vectơ (2 · 6; 2 · 8).
• (a + b) · x = a · x + b · x: tính chất phân phối đối với phép cộng các số.
• 1 · x = x: nhân một vectơ bất kì với số thực 1 thì vectơ không thay đổi. Trong ví dụ của ta, 1 · (5; 8) = (5; 8).
• Tồn tại phần tử 0 ∈ V sao cho 0 · x = 0. Số 0 in đậm, tức là 0, là vectơ-không, còn số 0 in thường đơn giản là số 0. Điều kiện này nói rằng trong V phải có một vectơ thu được bằng cách nhân một vectơ bất kì x ∈ V với số 0. Với không gian ℝ² của ta, đó là vectơ (0; 0), vì với mọi vectơ (a; b) ∈ ℝ² ta có 0 · (a; b) = (0; 0).

Đó là tất cả các tính chất mà không gian vectơ (không gian tuyến tính) V phải thoả mãn. Khi nhân một vectơ với một số thực a, ta gọi số a là vô hướng. Vì thế người ta hay nói đến phép nhân với vô hướng, và hiểu đó là biểu thức dạng a · x, trong đó a là số thực và x là vectơ.

Hai nghĩa của dấu cộng +

Chú ý rằng trong một số biểu thức, dấu cộng + có thể mang hai nghĩa. Chẳng hạn ở tính chất phân phối đối với phép cộng các số, ta có đẳng thức (a + b) · x = a · x + b · x. Ở đây dấu + ở vế trái cộng hai số thực, vì a và b đều là số thực, còn ở vế phải nó cộng hai vectơ, vì tích a · x là một vectơ.

Cách nhận biết tự động này rất hay được dùng trong toán học — từ ngữ cảnh luôn rõ đó là phép cộng nào. Với biểu thức x + y mà x, y là vectơ thì ta dùng phép cộng vectơ. Nếu x, y là số thì dùng phép cộng thông thường. Nếu chúng là ma trận thì dùng phép cộng ma trận, v.v.

Ta có thể dùng một kí hiệu khác cho phép cộng vectơ, chẳng hạn ⊕. Khi đó tính chất phân phối đối với phép cộng các số được viết thành: (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. Dấu + thông thường ở đây là phép cộng hai số thực a, b, còn dấu ⊕ là phép cộng vectơ. Nhưng thường thì cả hai phép cộng đều dùng chung dấu +, và nghĩa của nó được hiểu từ ngữ cảnh. Với dấu · cũng vậy.

Không gian vectơ R²

Ở phần đầu, ta đã định nghĩa không gian vectơ V = ℝ²; bây giờ ta chứng minh rằng nó thật sự là một không gian vectơ. Trước hết cần kiểm tra các phép cộng và phép nhân có được định nghĩa đúng hay không. Phép cộng phải cộng hai vectơ và cho kết quả là một vectơ mới. Điều này thoả mãn, vì (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d). Cộng hai vectơ của ℝ² ta được một vectơ mới của ℝ².

Nếu, chẳng hạn, ta định nghĩa tổng hai vectơ là tổng độ dài của chúng thì đó không phải là một phép cộng hợp lệ trong không gian vectơ. Độ dài của vectơ (a; b) tính bằng $\sqrt{a^2+b^2}$. Khi đó kết quả của tổng (3; 4) + (5; 12) là số $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$, mà đó không phải một vectơ của không gian ℝ².

Tiếp theo cần kiểm tra phép nhân có được định nghĩa đúng hay không. Phép nhân nhân một số thực với một vectơ của ℝ² và kết quả phải là một vectơ mới của ℝ². Điều này cũng thoả mãn, vì phép nhân với vô hướng được định nghĩa là k · (a; b) = (k · a; k · b).

Lần lượt kiểm tra cả 7 tính chất mà không gian vectơ phải thoả mãn. Thay cho các vectơ x, y, ta sẽ dùng các vectơ (a; b), (c; d), … tuỳ theo chỗ nào tiện; đừng lo về điều đó.

1. x + y = y + x, tính chất giao hoán của phép cộng vectơ. Phép cộng vectơ mà ta định nghĩa có tính chất giao hoán không? Có, vì nó được định nghĩa là (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d). Đổi chỗ hai vectơ ở vế trái, ta được: (c; d) + (a; b) = (c + a; d + b). Vì c + a là tổng của hai số thực, mà phép cộng các số thực có tính chất giao hoán, nên c + a = a + c, và tương tự với cặp thứ hai: d + b = b + d. Vậy (a + c; b + d) = (c + a; d + b).

• (x + y) + z = x + (y + z). Phần này giống trò chơi với dấu ngoặc. Thực chất chỉ là các phép biến đổi đơn giản, nhưng hơi rối mắt vì có quá nhiều dấu ngoặc. Ta thử tính tổng vectơ sau:

$$((a;b)+(c;d))+(e;f)=(a+c;b+d)+(e;f)=((a+c)+e;(b+d)+f)$$

Vì a, c, e là các số thực và phép cộng trên tập số thực có tính chất kết hợp nên (a + c) + e = a + c + e. Với toạ độ thứ hai cũng vậy. Do đó có thể viết

$$((a;b)+(c;d))+(e;f)=(a+c+e;b+d+f)$$

Bây giờ thử cộng chính các vectơ đó với cách đặt dấu ngoặc khác:

$$(a;b)+((c;d)+(e;f))=(a;b)+(c+e;d+f)=(a+(c+e);b+(d+f))$$

Một lần nữa a + (c + e) = a + c + e, nên có thể viết

$$(a;b)+((c;d)+(e;f))=(a+c+e;b+d+f)$$

Như vậy, dù đặt dấu ngoặc trong tổng của ba vectơ thế nào, ta vẫn luôn được cùng một vectơ (a + c + e; b + d + f). Vậy phép cộng trong ℝ² có tính chất kết hợp, thoả mãn tính chất thứ hai của không gian vectơ.

Bạn có thể thử thay các biến a, …, f bằng những số cụ thể và sẽ thấy kết quả khớp.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Một lần nữa, trước hết ta khai triển vế trái của đẳng thức, thay x bằng vectơ (c; d):

$$a\cdot (b\cdot (c;d))=a\cdot (b\cdot c;b\cdot d)=(a\cdot (b\cdot c);a\cdot (b\cdot d))$$

Vì phép nhân các số thực có tính chất kết hợp nên a · (b · c) = a · b · c. Do đó có thể viết:

$$a\cdot (b\cdot (c;d))=(a\cdot b\cdot c;a\cdot b\cdot d)$$

Bây giờ khai triển vế phải của đẳng thức, tức là (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot (c;d)=((a\cdot b)\cdot c;(a\cdot b)\cdot d)$$

Lại có (a · b) · c = a · b · c, nên:

$$(a\cdot b)\cdot (c;d)=(a\cdot b\cdot c;a\cdot b\cdot d)$$

Ta thấy cả hai vế của đẳng thức đều cho vectơ (a · b · c; a · b · d), vậy đẳng thức đúng.

• a · (x + y) = a · x + a · y. Cách làm như trên, ta khai triển vế trái của đẳng thức:

$$a\cdot ((c;d)+(e;f))=a\cdot \left((c+e;d+f)\right)=(a\cdot (c+e);a\cdot (d+f))$$

Vì a, c, e là các số thực, mà với số thực thì tính chất phân phối đúng, nên ta có đẳng thức: a · (c + e) = ac + ae. Do đó có thể viết:

$$a\cdot ((c;d)+(e;f))=(ac+ae;ad+af)$$

Vế phải của đẳng thức:

$$a\cdot (c;d)+a\cdot (e;f)=(ac;ad)+(ae;af)=(ac+ae;ad+af)$$

Ta thấy sau khi biến đổi, vế trái và vế phải bằng nhau.

• (a + b) · x = a · x + b · x: Ta làm rất giống bước trước. Biến đổi vế trái:

$$(a+b)\cdot (c;d)=((a+b)\cdot c;(a+b)\cdot d)=(ac+bc;ad+bd)$$

Vế phải:

$$a\cdot (c;d)+b\cdot (c;d)=(ac;ad)+(bc;bd)=(ac+bc;ad+bd)$$

• 1 · x = x: Tôi không tin có ai đọc được đến tận đây, nhưng thôi, ta tiếp tục :-). Ít ra ý này cũng đơn giản. Cần kiểm tra rằng 1 · (a; b) = (a; b). Điều đó chắc chắn đúng, vì

$$1\cdot (a;b)=(1\cdot a;1\cdot b)=(a;b)$$

• Tồn tại phần tử 0 ∈ ℝ² sao cho 0 · x = 0: đó là vectơ (0; 0). Với vectơ này ta có 0 · (a; b) = (0; 0), vì

$$0\cdot (a;b)=(0\cdot a;0\cdot b)=(0;0)$$

Kích thước của không gian vectơ

Không gian vectơ nhỏ nhất là gì? Theo định nghĩa, không gian vectơ là một tập hợp khác rỗng V, nên kích thước nhỏ nhất có thể xét là một tập hợp gồm một vectơ. Theo điều kiện thứ bảy của định nghĩa, không gian phải chứa vectơ-không. Vì vậy tập hợp V = {0} là ứng viên cho không gian vectơ nhỏ nhất.

Có thể định nghĩa phép cộng là 0 + 0 = 0 và phép nhân là a · 0 = 0. Làm gì đi nữa, ta cũng luôn được vectơ-không. Rõ ràng tập hợp một phần tử này có đủ cả 7 tính chất cần thiết.

Vậy là có không gian vectơ một phần tử. Có tồn tại không gian vectơ có 2 phần tử không? Có thể định nghĩa trên tập hợp V = {x; 0} các phép cộng và phép nhân sao cho được một không gian vectơ không?

Câu trả lời là không, không tồn tại không gian vectơ có 2 phần tử. Cũng không tồn tại không gian vectơ hữu hạn nào khác ngoài không gian một phần tử nói trên. Mọi không gian vectơ khác đều vô hạn. Tuy nhiên, như đã nói, nếu thay tập số thực bằng một trường hữu hạn nào đó thì ta có thể được cả những không gian vectơ hữu hạn khác.

Tóm tắt

Định nghĩa không gian vectơ không hề đơn giản: các vectơ và phép toán phải thoả mãn tổng cộng 7 điều kiện, không phải ít. Mặt khác, các điều kiện này khá hiển nhiên và dễ hiểu — chúng nhằm giúp làm việc với vectơ thuận tiện. Nhờ các điều kiện đó, ta có thể cộng các vectơ của một không gian vectơ mà không phải kiểm tra xem kết quả có thuộc một không gian vectơ khác hay không. Tương tự, nhân một vectơ với một số thực ta luôn được một vectơ của cùng không gian đó. Việc vectơ và các phép toán trên chúng tuân theo tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối cũng khá tự nhiên.

Có thể định nghĩa không gian vectơ tổng quát hơn: thay cho tập số thực có thể lấy một trường bất kì. Nhưng điều này sẽ bàn ở các bài sau.