Số tự nhiên
Số tự nhiên là những số thường gặp nhất trong đời sống hằng ngày. Đó là các số 0, 1, 2, 3, 4, … Các số tự nhiên khác 0, tức là các số 1, 2, 3, 4, …, chính là các số nguyên dương.
Kí hiệu
Các số tự nhiên tạo thành một tập hợp gồm số 0 và các số nguyên dương 1, 2, 3, 4, … Tập hợp này thường kí hiệu bằng chữ N có nét đầu tiên kép như sau: ℕ. Chữ N lấy từ tiếng Anh “naturals” (các số tự nhiên).
Tập hợp các số tự nhiên khác 0 kí hiệu là ℕ*. Đây là cách viết trong sách giáo khoa Việt Nam: số 0 là số tự nhiên. Tuy vậy, quy ước này không giống nhau ở mọi nơi. Ở một số nước, chẳng hạn ở Séc, tập số tự nhiên lại không chứa số 0: khi đó ℕ là tập không có số 0, còn nếu muốn có cả số 0 thì người ta thêm số 0 vào chỉ số như sau: ℕ0. Đôi khi còn dùng kí hiệu có dấu cộng ℕ+ để nhấn mạnh rằng tập hợp không chứa số 0. Vì vậy, khi đọc tài liệu nước ngoài, cần xem tác giả có tính số 0 là số tự nhiên hay không.
Số tự nhiên dùng chủ yếu để chỉ số lượng (“nhà có 3 cái ghế”, “trong công viên có 30 chiếc ghế đá”, …) và để chỉ thứ tự (“người đầu tiên đặt chân lên Mặt Trăng”, “Canada là nước có diện tích lớn thứ hai thế giới”, …).
Tính chất
Số tự nhiên có một số tính chất đáng chú ý:
- Tập số tự nhiên là tập vô hạn nhưng đếm được: có thể sắp xếp tất cả các số tự nhiên thành một dãy số.
- Tập số tự nhiên đóng đối với phép cộng và phép nhân. Nghĩa là cộng hoặc nhân hai số tự nhiên bất kì, ta lại được một số tự nhiên.
- Tập số tự nhiên không đóng đối với phép trừ, vì lấy số nhỏ trừ đi số lớn hơn thì được một số âm.
- Tương tự, tập số tự nhiên cũng không đóng đối với phép chia, chẳng hạn 7/2 không phải là số tự nhiên.
Phép chia có dư
Ở phần trước, ta đã thấy tập số tự nhiên không đóng đối với phép chia. Tuy nhiên, có thể định nghĩa phép chia có dư, phép chia mà chắc hẳn ai cũng biết. Chia 7/2 thì được 3,5. Còn nếu thực hiện phép chia có dư thì ta được thương là 3 và số dư là 1. Nhân 3 · 2 rồi cộng thêm số dư, ta lại được 7: 3 · 2 + 1 = 7.
Thương và số dư của phép chia có dư luôn là số tự nhiên. Số dư có thể bằng 0 (khi phép chia là phép chia hết), thương cũng có thể bằng 0 (khi số bị chia nhỏ hơn số chia), vì vậy ở đây cần tập số tự nhiên có chứa số 0. Nói cách khác, cả thương lẫn số dư đều thuộc tập ℕ.
Định nghĩa phép chia có dư như sau:
Trong định nghĩa này, ta chia a:b, số r gọi là số dư, còn q là thương. Các điều kiện có ý nghĩa gì? Ta làm việc với các số tự nhiên (kể cả số 0), nhưng vì không thể chia cho 0 nên số chia b được chọn từ tập các số tự nhiên khác 0.
Chẳng hạn, với phép chia 19:5 ta có a = 19 và b = 5. Khi đó:
Vậy q = 3 là thương và r = 4 là số dư.