Quan hệ

Quan hệ là khái niệm toán học tương ứng với từ “mối quan hệ” trong đời thường. Trong cuộc sống, chẳng hạn giữa chị Thu và Mai có một mối quan hệ, cụ thể là quan hệ “mẹ — con gái”. Một quan hệ khác có thể là “quốc gia — thủ đô của quốc gia đó”, ví dụ Ai Cập — Cairo.

Thêm một số ví dụ về quan hệ

Ta xét thêm vài ví dụ. Ở phần mở đầu đã nhắc đến các quan hệ “là mẹ của con gái mình” và “là thủ đô của quốc gia”. Xét tiếp quan hệ “là số chẵn”. Các số 2, 4, 8, 18, 58, 66 và nhiều số khác có quan hệ này. Các số 1, 3, −7, 19 không có quan hệ “là số chẵn”. Một quan hệ trong đời thường có thể là “là nam giới”. Minh, Hùng, Tuấn hay Long đều có quan hệ “là nam giới”.

Một ví dụ khác là quan hệ “nhỏ hơn”. Chẳng hạn số 3 “nhỏ hơn” số 5, viết bằng kí hiệu toán học là 3<5. Hay quan hệ bằng: số 3 “bằng” số 3, viết là 3 = 3.

Cũng có những ví dụ phức tạp hơn: “bố và mẹ là cha mẹ của đứa con”. Quan hệ này gồm bộ ba người: bố Bình, mẹ Hoa và con Linh. Trong toán học, ta có thể đặt ra một quan hệ giữa ba số như sau: tổng của hai số đầu bằng số thứ ba. Chẳng hạn các số sau, theo đúng thứ tự này, có quan hệ đó: 3, 4, 7, vì 3 + 4 = 7. Các số sau thì không: 3, 5, 12, vì 3 + 5 ≠ 12.

Số ngôi của quan hệ

Số ngôi cho biết quan hệ liên kết bao nhiêu phần tử. Trong các ví dụ trên, số phần tử tham gia quan hệ không giống nhau. Với quan hệ “là nam giới”, chỉ cần một phần tử, chẳng hạn: “Minh là nam giới”. Chỉ cần một cái tên, một phần tử. Quan hệ như vậy gọi là quan hệ một ngôi.

Ví dụ tiếp theo là quan hệ “nhỏ hơn”. Quan hệ này liên quan đến hai số, hai phần tử: số 3 nhỏ hơn số 5. Ta dùng hai phần tử, nên đây là quan hệ hai ngôi.

Ví dụ cuối cùng dùng tất cả ba phần tử: tổng của hai số bằng số thứ ba. Ta có các số a, b, c phải thoả mãn a + b = c. Quan hệ này là quan hệ ba ngôi.

Với số ngôi lớn hơn, ta nói quan hệ n ngôi. Cách gọi này cũng dùng được cho số ngôi nhỏ: quan hệ hai ngôi chính là quan hệ n ngôi với n = 2. Các phần tử của quan hệ khi đó được viết dưới dạng bộ n có thứ tự. Với quan hệ hai ngôi, ta viết chúng thành cặp, thường đặt trong dấu ngoặc tròn. Chẳng hạn muốn viết rằng hai số 3 và 5 có quan hệ “nhỏ hơn”, ta viết chúng thành cặp: (3; 5). Chú ý rằng thứ tự là quan trọng, viết ngược lại thì không đúng: (3; 5) ≠ (5; 3) — số 5 không nhỏ hơn số 3.

Ví dụ về một gia đình

Trước khi đi vào các định nghĩa toán học, ta xét thêm một ví dụ điển hình về gia đình. Cho các thành viên của một gia đình:

• Phong: ông nội;
• Minh: bố;
• Thanh: mẹ;
• Lan: con gái;
• Khoa: con trai.

Trước hết, ta tìm tất cả các thành viên trong gia đình thoả mãn quan hệ “là nam giới”. Đây là quan hệ một ngôi, nên mỗi phần tử của quan hệ luôn chỉ gồm một thành viên trong gia đình. Ta cần liệt kê tất cả các thành viên là nam. Ở đây thứ tự không quan trọng. Vậy quan hệ “là nam giới” gồm các phần tử: {(Phong); (Minh); (Khoa)}. Để ý rằng dù là quan hệ một ngôi, ta vẫn dùng dấu ngoặc tròn. Điều đó không bắt buộc, không có ngoặc thì cách viết vẫn dễ đọc, nhưng tôi giữ ngoặc cho thống nhất. Tập hợp tất cả các phần tử của quan hệ là một tập hợp thông thường, vì thế mới có dấu ngoặc nhọn.

Bây giờ ta tìm tất cả các cặp có quan hệ “bố — con trai”. Nhìn qua cũng thấy đây là quan hệ hai ngôi, kết quả sẽ gồm các cặp phần tử có thứ tự. Tập hợp thu được là: {(Minh; Khoa); (Phong; Minh)}. Minh là bố của con trai Khoa, còn ông Phong là bố của Minh. Để ý rằng thứ tự thật sự quan trọng: Minh xuất hiện hai lần, một lần ở vị trí thứ nhất (vị trí người bố) và một lần ở vị trí thứ hai (vị trí người con trai).

Thử thêm một quan hệ nữa: “cha mẹ — con”. Lần này kết quả nhiều hơn, vì ở vị trí thứ nhất có thể là bố hoặc mẹ, còn ở vị trí thứ hai có thể là con trai hoặc con gái. Cũng cần lưu ý rằng ông Phong là cha của Minh nhưng không phải cha của Thanh. Còn Minh và Thanh đều là cha mẹ của Lan và Khoa. Lan và Khoa chưa làm cha mẹ của ai, vì mới 19 và 13 tuổi. Kết quả gồm các cặp có thứ tự sau: {(Phong; Minh); (Minh; Lan); (Minh; Khoa); (Thanh; Lan); (Thanh; Khoa)}. Để ý rằng Minh và Thanh đều xuất hiện hai lần — một lần là cha mẹ của con gái Lan và một lần là cha mẹ của Khoa.

Một chỗ dễ nhầm cuối cùng về quan hệ hai ngôi. Xét quan hệ “anh chị em — anh chị em”. Cần nhớ rằng với quan hệ, thứ tự là quan trọng. Nếu trong kết quả chỉ viết “Lan — Khoa” thì sai, vì đó là một cặp có thứ tự hoàn toàn khác với “Khoa — Lan”. Vì vậy kết quả đúng là: {(Lan; Khoa); (Khoa; Lan)}.

Và một ví dụ ngắn về quan hệ ba ngôi: Viết tất cả các bộ ba có thứ tự của quan hệ “ông — bố — con”. Theo đề bài chỉ có một ông và một bố, nhưng có hai người con. Không thể chỉ viết bộ ba có Lan hoặc có Khoa, mà phải viết cả hai. Sẽ khác nếu vị trí cuối không phải “con” mà là “con trai”. Kết quả đúng là: {(Phong; Minh; Lan); (Phong; Minh; Khoa)}.

Định nghĩa quan hệ một ngôi

Ta bắt đầu từ những quan hệ đơn giản nhất: quan hệ một ngôi. Quan hệ một ngôi được hiểu là một tập hợp các phần tử nào đó. Tập hợp {2; 3} có thể biểu diễn một quan hệ nào đó, chẳng hạn quan hệ “là số nguyên tố nhỏ hơn 5” hoặc “là ước không tầm thường của 6”, tuỳ theo cách ta hiểu.

Bạn đọc tinh ý sẽ nhận ra rằng quan hệ thứ hai được định nghĩa hơi lạ. Quan hệ phải chứa các ước không tầm thường của 6, và trong tập hợp thu được có các số 2 và 3. Có thiếu số nào không? Các số 1 và 6 là ước tầm thường, ta không quan tâm. Nhưng còn phải có các số âm, tức là −2 và −3. Tập hợp tất cả các ước không tầm thường của 6 là: {−3; −2; 2; 3}.

Tương tự như với hàm số ta chỉ ra tập xác định, với quan hệ ta chỉ ra tập nền — tập hợp mà từ đó ta chọn các phần tử của quan hệ. Chẳng hạn trong các ví dụ trên, ta đã xác định một gia đình cụ thể có ông Phong, v.v., chứ không chọn bố và con trong mọi gia đình trên thế giới. Nếu chọn tập nền là tập số tự nhiên thì quan hệ của ta sẽ ổn.

Đến đây ta có thể định nghĩa quan hệ. Nếu tập nền là tập số tự nhiên thì quan hệ một ngôi của ta có thể chứa những phần tử nào? Cũng chỉ là các số tự nhiên: hoặc tất cả, hoặc một phần. Do đó có thể nói quan hệ này là một tập con của tập số tự nhiên. Tổng quát hơn, nếu có quan hệ một ngôi R và tập nền M thì R ⊆ M, quan hệ R là tập con của tập hợp M.

Định nghĩa quan hệ hai ngôi

Với quan hệ hai ngôi thì sao? Các phần tử của quan hệ hai ngôi R là các cặp có thứ tự. Mỗi thành phần của cặp có thể lấy từ một tập hợp khác nhau. Chẳng hạn quan hệ “người cha hoặc mẹ — số con”: người được chọn từ tập hợp những người, ví dụ ở châu Âu, còn số con được chọn từ tập số tự nhiên (gồm cả số 0).

Làm thế nào từ hai tập hợp ta có được tập hợp tất cả các cặp có thể? Nhờ tích Descartes. Với hai tập hợp A = {a; b; c}, B = {1; 2}, tích Descartes cho ta:

$$A\times B=\{(a;1);(a;2);(b;1);(b;2);(c;1);(c;2)\}$$

Đây là tập hợp tất cả các cặp có thể lập được bằng cách đặt ở vị trí thứ nhất một phần tử của tập hợp A và ở vị trí thứ hai một phần tử của tập hợp B. Như vậy, quan hệ hai ngôi R giữa hai tập hợp A và B có thể định nghĩa là R ⊆ A × B.

Giữ nguyên hai tập hợp A, B ở trên và định nghĩa quan hệ R giữa chúng như sau: “chữ cái — số thứ tự của chữ cái trong bảng chữ cái”. Khi đó quan hệ này là: R = {(a; 1); (b; 2)}. Chữ cái c không có mặt, vì trong tích Descartes A × B không có cặp (c; 3).

Định nghĩa quan hệ n ngôi

Cuối cùng, ta định nghĩa quan hệ n ngôi tổng quát R giữa các tập hợp M₁, M₂, …, M_n:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times \dots \times M_n$$

Như vậy quan hệ là một tập con của tập các bộ n có thứ tự. Một ví dụ về quan hệ hai ngôi là quan hệ “nhỏ hơn”, tức là <. Ta có thể định nghĩa nó trên một tập số nào đó, chẳng hạn trên tập số nguyên dương. Khi đó quan hệ có dạng:

$$<\subseteq {\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$$

(Đừng ngạc nhiên vì kí hiệu < lại đứng ở vế trái. Đó chỉ là tên của quan hệ. Ở đó cũng có thể viết R, với R là quan hệ nhỏ hơn.)

Cụ thể, quan hệ này trông như sau:

$$\begin{array}{rcl}<=& & (1;2),(1;3),(1;4),(1;5),\dots \\ & & (2;3),(2;4),(2;5),(2;6),\dots \\ & & (3;4),(3;5),(3;6),(3;7),\dots \\ & & (4;5),(4;6),(4;7),(4;8),\dots \\ & & \dots \\ & & \end{array}$$

Đó là tập hợp các cặp có thứ tự mà số nguyên dương ở vị trí thứ nhất nhỏ hơn số nguyên dương ở vị trí thứ hai.

Cách viết quan hệ

Quan hệ thường được đặt tên bằng chữ in hoa R, S, v.v. hoặc bằng các kí hiệu quen thuộc: <, ⊆, =, v.v. Từ các định nghĩa trên có thể thấy quan hệ thực chất là một tập hợp. Mà hầu như mọi thứ trong toán học đều là tập hợp :-). Vì vậy, muốn nói phần tử r thuộc quan hệ R, ta có thể viết r ∈ R.

Chẳng hạn có thể viết (1; 3) ∈ <, nghĩa là cặp số 1 và 3 thuộc quan hệ nhỏ hơn. Với quan hệ hai ngôi, ta thường gặp một cách viết dễ chịu hơn mà bạn đã biết từ bậc tiểu học. Thay vì dùng kí hiệu thuộc ∈, ta chỉ cần viết 1 < 3. Tương tự, ta thường không viết (5; 5) ∈ = mà viết 5 = 5.