Các phép toán trên quan hệ

Vì quan hệ thực chất là tập hợp nên ta có thể thực hiện với chúng các phép toán quen thuộc trên tập hợp.

Các phép toán trên tập hợp

Trong bài trước, ta đã định nghĩa quan hệ là một tập hợp. Với tập hợp, ta có các phép toán như hợp, giao hay hiệu. Hãy xem chúng có ý nghĩa gì đối với quan hệ.

Trước hết cần đặt ra một điều kiện, vì không thể thực hiện các phép toán này giữa hai quan hệ bất kì. Với hai quan hệ “nhỏ hơn” và “là số chẵn”, các phép toán này không có ý nghĩa, vì quan hệ thứ nhất là quan hệ hai ngôi, còn quan hệ thứ hai là quan hệ một ngôi. Để sau phép toán trên tập hợp ta lại được một quan hệ, mọi quan hệ tham gia phải có cùng số ngôi, tức là tất cả đều là quan hệ n ngôi với cùng một số n.

Hợp

Cho hai quan hệ “nhỏ hơn” và “bằng”. Lấy hợp của hai quan hệ này thì được gì? Quan hệ nhỏ hơn gồm tất cả các cặp (a; b) mà a < b. Quan hệ bằng gồm tất cả các cặp (a; b) mà a = b. Như vậy quan hệ < ∪ = gồm tất cả các cặp (a; b) mà a < b hoặc a = b: số a hoặc nhỏ hơn, hoặc bằng số b. Ta đã biết quan hệ này, đó là quan hệ “nhỏ hơn hoặc bằng”, kí hiệu là ≤.

Với hai quan hệ R₁ và R₂, phép hợp cho quan hệ R = R₁ ∪ R₂ thoả mãn: phần tử r thuộc quan hệ R nếu nó thuộc quan hệ R₁ hoặc thuộc quan hệ R₂. Nói cách khác, một phần tử thuộc quan hệ thu được nếu nó thuộc ít nhất một trong hai quan hệ được lấy hợp.

Giao

Phép hợp cho ta một quan hệ mới mà các phần tử thuộc ít nhất một trong hai quan hệ ban đầu. Phép giao cũng tương tự, chỉ khác là các phần tử phải thuộc cả hai quan hệ.

Nếu lại lấy hai quan hệ nhỏ hơn và bằng (trên tập số thực) rồi lấy giao của chúng thì được gì? Ta phải được các cặp phần tử vừa có quan hệ nhỏ hơn, vừa bằng nhau. Nhưng điều đó không thể xảy ra, vì nếu a < b thì không bao giờ có a = b. Ta được quan hệ rỗng.

Xét hai quan hệ sau: quan hệ “chia hết” và quan hệ hai ngôi gồm các cặp (a; b), trong đó a là số lẻ và b là số chẵn. Xét trên tập số tự nhiên. Quan hệ thứ nhất gồm các cặp số như (5; 15), (6; 30), (3; 123) — số thứ hai luôn phải chia hết cho số thứ nhất. Quan hệ thứ hai gồm các cặp số mà số thứ nhất lẻ và số thứ hai chẵn: (1; 4), (5; 14), (3; 24), v.v. Giao của hai quan hệ này là một quan hệ mới R gồm các cặp (a; b) mà b chia hết cho a, đồng thời a là số lẻ và b là số chẵn. Chẳng hạn: (5; 30) hoặc (3; 24).

Hiệu

Với hai quan hệ R₁ và R₂, hiệu R₁ − R₂ là một quan hệ mới gồm các phần tử thuộc R₁ nhưng không thuộc R₂. Ta lại trở về với hai quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng và bằng. Nếu R₁ là quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng và R₂ là quan hệ bằng thì hiệu R₁ − R₂ gồm các phần tử có quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng nhưng không có quan hệ bằng. Tức là ta được các cặp (a; b) mà a ≤ b nhưng không có a = b. Nói cách khác, ta được quan hệ nhỏ hơn: <.

Phần bù của quan hệ

Mỗi quan hệ đều có quan hệ bù. Các phần tử của quan hệ bù của R là tất cả những phần tử không thuộc quan hệ ban đầu R. Chẳng hạn quan hệ bù của quan hệ bằng (tức là =) là quan hệ khác. Quan hệ thứ nhất gồm tất cả các cặp phần tử bằng nhau (ví dụ 5 = 5), còn quan hệ bù gồm tất cả các cặp số khác nhau (ví dụ 5 ≠ 6).

Điều duy nhất cần chú ý khi tìm quan hệ bù là tập nền — tập hợp mà quan hệ được xét trên đó. Quan hệ bằng có thể định nghĩa trên tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số thực, hay thậm chí trên tập hợp tất cả mọi người trên Trái Đất.

Nếu quan hệ hai ngôi R được lấy từ hai tập hợp M₁ và M₂, tức là R ⊆ M₁ × M₂, thì quan hệ bù, kí hiệu là S, bằng S = (M₁ × M₂) ∖ R: đó là những phần tử thuộc tích Descartes của các tập nền nhưng không thuộc quan hệ R. Với quan hệ có số ngôi khác cũng tương tự.