Định thức

Trong đại số tuyến tính, định thức là ánh xạ cho tương ứng mỗi ma trận vuông A với một vô hướng, kí hiệu là |A|. Với ma trận số, định thức bằng một số thực nào đó.

Hoán vị của một bộ n phần tử

Để định nghĩa định thức, ta cần biết cách xác định hoán vị của một bộ n phần tử, cụ thể là dấu của hoán vị. Cách giải thích tốt nhất là qua ví dụ. Cho bộ ba có thứ tự ⟨1, 2, 3⟩ được biến thành bộ ba ⟨2, 3, 1⟩. Với hoán vị, ta thường viết như sau:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$

Bây giờ cần xác định phải đổi chỗ các số bao nhiêu lần để từ bộ thứ nhất được bộ thứ hai, với điều kiện chỉ được đổi chỗ hai số đứng cạnh nhau. Ta có bộ ba ⟨1, 2, 3⟩. Đổi chỗ số 1 với số 2: ⟨2, 1, 3⟩. Rồi đổi chỗ số 1 với số 3: ⟨2, 3, 1⟩, và ta đã được hoán vị cần tìm. Để được ảnh, ta cần 2 lần đổi chỗ. Dấu của hoán vị xác định rất đơn giản — nếu số lần đổi chỗ là chẵn thì dấu dương, nếu số lần đổi chỗ là lẻ thì dấu âm. Vậy trong trường hợp này, hoán vị có dấu dương. Thử xác định dấu của hoán vị trong ví dụ sau:

$$\left(\begin{array}{cccc}4& 2& 3& 1\\ 1& 3& 4& 2\end{array}\right)$$

Ta làm như sau:

$$⟨4,2,3,1⟩\to ⟨4,2,1,3⟩\to ⟨4,1,2,3⟩\to ⟨1,4,2,3⟩\to ⟨1,4,3,2⟩\to ⟨1,3,4,2⟩$$

Xong. Tổng cộng cần 5 lần đổi chỗ, nên lần này ta được một hoán vị lẻ.

Dấu của hoán vị được kí hiệu bằng kí hiệu Levi-Civita:

$${ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}=\{\begin{array}{ll}+1& \text{nếu }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ là hoán vị chẵn của }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ -1& \text{nếu }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ là hoán vị lẻ của }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ 0& \text{trong các trường hợp còn lại}\end{array}$$

Định nghĩa định thức

Định thức là một số; nó chỉ được định nghĩa cho ma trận vuông và được viết là det A hoặc |A|. Số này được định nghĩa như sau:

$$|A|=\sum _{i_1,\dots ,i_n}^n{ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}{a}_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\cdot \dots \cdot a_{n{i}_n}$$

Ta thử tính định thức của một ma trận vuông cấp 2 × 2:

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$$

Thay giá trị cụ thể n = 2 vào định nghĩa, ta được công thức:

$$|A|=\sum _{i_1,i_2}^2{ϵ}_{i_1,i_2}\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}$$

Lần lượt thay i₁ và i₂ bằng các giá trị 1 và 2. Ta được tất cả 4 khả năng: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

Với các khả năng a) và d), ta được giá trị 0 vì ϵ_1,1 = 0 và ϵ_2,2 = 0. Do đó số hạng tương ứng trong tổng bằng 0, vì 0 · a_1i1 · a_2i2 = 0.

Còn lại các khả năng b) và c). Với b) i₁ = 1, i₂ = 2 ta có ϵ_1,2 = 1, vì ⟨1, 2⟩ là một hoán vị chẵn của ⟨1, 2⟩. Ta được số hạng thứ nhất:

$$1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=1\cdot a_{11}\cdot a_{22}=4\cdot 3=12$$

Trường hợp còn lại là i₁ = 2, i₂ = 1. Giá trị ϵ_2,1 bằng −1. Ta được số hạng thứ hai:

$$-1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=-1\cdot a_{12}\cdot a_{21}=-1\cdot 2\cdot 1=-2$$

Bây giờ cộng cả 4 trường hợp a) + b) + c) + d), ta được

$$|A|=0+12-2+0=10.$$

Định thức của ma trận A bằng 10.

Để ý rằng cuối cùng ta đã tính định thức của ma trận dưới dạng hiệu

$$|A|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$$

Công thức này đúng với mọi ma trận cấp 2 × 2.

Quy tắc Sarrus

Quy tắc Sarrus dùng để tính định thức của ma trận cấp 3. Định thức này đã phức tạp hơn một chút. Ta bắt tay vào tính, chẳng hạn với ma trận sau:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\end{array}\right)$$

Ta làm tương tự như với ma trận cấp 2, nhưng cho dễ theo dõi, ta viết thêm 2 dòng: chép 2 dòng đầu của ma trận xuống dưới ma trận:

$$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\\ 5& 3& 2\\ 1& 7& -8\end{array}\right)$$

Như vậy dòng thứ nhất và dòng thứ tư của ma trận giống nhau, dòng thứ hai và dòng thứ năm cũng vậy. Bây giờ lấy tổng các tích của các phần tử trên các đường chéo chính trừ đi tổng các tích của các phần tử trên các đường chéo phụ. Thay số, ta được:

$$|A|=[5\cdot 7\cdot 7+1\cdot (-2)\cdot 2+0\cdot 3\cdot (-8)]-[2\cdot 7\cdot 0+(-8)\cdot (-2)\cdot 5+7\cdot 3\cdot 1]=140$$

Tính chất của định thức

• Nhân một dòng hoặc một cột của ma trận A với số c ≠ 0, ta được ma trận A', và định thức của chúng thoả mãn: c|A| = |A'|. Tức là nếu nhân một dòng của ma trận với 3 rồi tính định thức, thì để có định thức của ma trận ban đầu, ta chia kết quả vừa tính cho 3.

• Nhân dòng thứ i với một số rồi cộng vào dòng thứ j thì định thức của ma trận không đổi. Với cột cũng vậy.

• Nếu ma trận có ít nhất một dòng không thì định thức của ma trận bằng 0.

• Ma trận khả nghịch luôn có định thức khác 0, còn ma trận suy biến luôn có định thức bằng 0.

• Định thức của ma trận dạng bậc thang bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.

• Đổi chỗ hai dòng của ma trận thì định thức đổi dấu.

• |A| = |A^T|

• |A · B| = |A| · |B|

• |A⁻¹| = 1/|A|

Từ các tính chất trên suy ra một cách tính định thức khá đơn giản: chỉ cần biến đổi ma trận về dạng bậc thang rồi nhân các phần tử trên đường chéo chính. Ta bắt đầu:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Bằng các phép biến đổi ma trận thông thường, ta đưa ma trận về dạng bậc thang:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 8& 21\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 0& -107\end{array}\right)$$

Bây giờ tính tích các phần tử trên đường chéo: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Tính định thức của ma trận sau:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right)$$

Trước hết nên đổi chỗ dòng thứ nhất và dòng thứ hai để đưa số nhỏ nhất lên trên. Nhưng không được quên đổi dấu:

$$\left|\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Tiếp theo nên nhân dòng thứ hai với 2 để cộng các dòng cho tiện. Không được quên nhân cả định thức với một phần hai:

$$-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Từ đây ta làm như thường lệ:

$$\begin{array}{rcl}-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|& =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& -17& -14& -18\\ 0& -17& -9& -11\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 4& -3\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 0& -43\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (-17)\cdot (-1)\cdot (-43)=731\end{array}$$

Khai triển Laplace

Laplace là một nhà toán học tốt bụng đã nghĩ ra cho ta một thuật toán khác để tính định thức. Để hiểu “công thức nấu ăn” này, ta cần biết cách lập một ma trận con đặc biệt của ma trận ban đầu. Cho ma trận A, ta cần lập ma trận con thu được bằng cách bỏ đi một dòng và một cột của ma trận A. Kí hiệu ma trận mới này là $S_{ij}^A$, nghĩa là ta đã bỏ dòng thứ i và cột thứ j của ma trận A. Ví dụ:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Ma trận con $S_{12}^A$ có dạng:

$$S_{12}^A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 5\end{array}\right)$$

Tiếp theo, ta định nghĩa định thức con, không gì khác hơn là định thức của ma trận con $S_{ij}^A$ vừa định nghĩa. Kí hiệu định thức con tương tự nhưng với chữ M, tức là $M_{ij}^A=|S_{ij}^A|$. Ta cũng có thể nói về định thức con ứng với phần tử a_ij, đó chính là $M_{ij}^A$.

Nhờ các định thức con này, ta tính được định thức của ma trận ban đầu. Bước đầu tiên, chọn một dòng (hoặc một cột) của ma trận. Sau đó với mỗi phần tử của dòng này, tính định thức con của nó. Ta được số định thức con bằng số phần tử của dòng. Khi đó định thức của ma trận ban đầu A cỡ n × n bằng tổng có trọng số của các định thức con này:

$$|A|=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot M_{ij}^A$$

trong đó i là dòng mà ta đã chọn. Nếu thay vào đó lấy tổng theo biến i thì ta cố định biến j — chỉ số cột.

Trong thực hành: có một ma trận và cần tìm định thức. Ta lấy một cột (hoặc một dòng) của ma trận, với mỗi phần tử của cột đó tìm định thức con, gán dấu (−1)^{i + j} rồi cộng tất cả lại, trong đó mỗi định thức con được nhân với phần tử tương ứng. Vì định thức con $M_{ij}^A$ còn được nhân với phần tử a_ij nên tốt nhất là phần tử này bằng 0. Khi đó bớt được một phép tính và đỡ tốn công. Thử tính định thức của ma trận sau:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 8\\ 6& 1& 0\\ 2& 3& 9\end{array}\right)$$

Ma trận chỉ có đúng một số 0, nên tốt nhất là khai triển theo dòng thứ hai hoặc theo cột thứ ba. Chẳng hạn ta chọn dòng. Bước đầu tiên, lập các ma trận con:

$$\begin{array}{rcl}{S}_{21}^A& =& \left(\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right)\\ S_{22}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right)\\ S_{23}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right)\end{array}$$

Bây giờ tính các định thức, ta được các định thức con. Với ma trận cấp 2, việc này rất đơn giản.

$$\begin{array}{rcl}{M}_{21}^A& =& \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|=12\\ M_{22}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|=29\\ M_{23}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|=7\end{array}$$

Giờ có thể thay vào công thức, với i = 2:

$$\begin{array}{rcl}|A|& =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|\cdot 0\\ & =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot 12+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot 29+(-1{)}^{2+3}\cdot 7\cdot 0=-43\end{array}$$

Để ý rằng vì phần tử cuối của dòng thứ hai bằng 0 nên số hạng thứ ba cũng bằng 0. Thêm một ví dụ:

Tính định thức của ma trận sau bằng khai triển Laplace:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)$$

Ở cột thứ ba toàn là bội của 3; có thể tận dụng điều này để khử cột này, chuẩn bị cho việc áp dụng khai triển Laplace sau đó. Cộng vào dòng thứ hai −2 lần dòng thứ nhất, cộng vào dòng thứ ba −3 lần dòng thứ nhất và cộng vào dòng thứ tư −1 lần dòng thứ nhất.

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ -8& 2& 0& 3\\ -13& 4& 0& 4\\ -2& 5& 0& 1\end{array}\right)$$

Các phép biến đổi này không làm thay đổi giá trị của định thức, nhưng giúp tính dễ hơn. Ta khai triển theo cột thứ ba, ở đó chỉ có một phần tử khác 0, nên trong khai triển chỉ còn lại định thức con ứng với phần tử thứ ba của dòng thứ nhất:

$$\left|\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right|=(-1{)}^{1+3}\cdot 3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|$$

Ở cột thứ ba của ma trận mới, phần tử cuối cùng bằng 1; có thể dễ dàng tận dụng điều này để khử cột đó:

$$\left(\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right)$$

Bây giờ khai triển theo cột thứ ba. Ở đó cũng chỉ có một phần tử khác 0:

$$3\left|\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\cdot ((-1{)}^{3+3}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|)=3\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|$$

Phần còn lại tính theo cách thông thường: 3 · (32 − 65) = −99.