✖

Trường (đại số)

Để hiểu phần trình bày dưới đây, bạn không cần kĩ năng hay kiến thức toán học đặc biệt nào. Chỉ cần nắm những điều cơ bản nhất của toán THPT và muốn tìm hiểu thêm một điều mới.

Trường – “con ngáo ộp” của đại số

Nếu ngay cái tên “trường” trong đại số đã làm bạn thấy sợ thì hãy yên tâm, thật sự không có gì phải lo. Nhìn từ đúng góc độ, trường là một khái niệm rất đơn giản.

Trường là một tập hợp tuỳ ý cùng với hai phép toán hai ngôi thoả mãn một số điều kiện. Chỉ có vậy, không hơn không kém. Rõ ràng chẳng có gì nguy hiểm hay đáng sợ. Biết điều đó rồi, ta có thể yên tâm xem xét kĩ hơn một chút.

Tập các phần tử của trường

Kí hiệu tập hợp tuỳ ý của ta là T, các phần tử của nó gọi là phần tử của trường. Tập các phần tử của trường có thể hoàn toàn tuỳ ý. Đó có thể là tập tất cả các số chẵn, tập tất cả những chiếc tất bị lạc mất chiếc còn lại, hay bộ sưu tập voi nhồi bông của bạn. Điều kiện duy nhất có lẽ là tập T không được rỗng – nếu không thì chẳng còn gì thú vị.

Phép toán hai ngôi

Nếu chưa hình dung ngay được phép toán hai ngôi là gì, bạn có thể tưởng tượng nó như một chiếc máy xay nhỏ. Ta bỏ vào đó hai phần tử của một tập hợp nào đó (vì thế mới gọi là “hai ngôi”), quay nhẹ tay cầm và máy cho ra một phần tử khác cũng thuộc tập hợp đó. Phép chia là một ví dụ đẹp về phép toán hai ngôi. Muốn biết 10 / 5 bằng bao nhiêu? Lấy phép chia (chiếc máy xay) trên tập số thực. Bỏ vào máy trước số 10, sau đó số 5, quay tay cầm và – thật kì diệu – máy cho ra số 2.

Ta gọi hai phép toán của mình là phép cộng và phép nhân, kí hiệu là ⊕ và ⊗. Đừng để tên gọi đánh lừa. Hai phép toán này không nhất thiết có nhiều điểm chung với phép cộng và phép nhân thông thường. Lí do là phần tử của trường có thể là những đối tượng bất kì, mà phép cộng và phép nhân thông thường thì không áp dụng được cho voi nhồi bông hay những chiếc tất.

Các phép toán trên trường

Hai phép toán ⊕ và ⊗ phải thoả mãn một số điều kiện, ta không thể định nghĩa chúng hoàn toàn tuỳ tiện. Mục đích của việc đưa vào các phép toán này là tổng quát hoá phép cộng và phép nhân các số thông thường. Ta muốn định nghĩa chúng sao cho áp dụng được cho các phần tử của trường – như đã biết, đó có thể là những đối tượng hoàn toàn tuỳ ý, không chỉ là số. Tuy vậy, ta vẫn muốn ⊕ và ⊗ giữ được ý nghĩa cơ bản của phép cộng và phép nhân. Để làm được điều đó, ta đặt ra 10 điều kiện mà các phép toán phải thoả mãn thì cấu trúc của ta mới là một trường. Các điều kiện này gọi là các tiên đề của trường:

  1. Tính chất giao hoán của phép cộng — Với hai phần tử bất kì a, b thuộc trường T ta có a ⊕ b = b ⊕ a.
  • Tính chất kết hợp của phép cộng — Với ba phần tử bất kì a, b, c thuộc trường T ta có (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
  • Tồn tại phần tử không — Phải tồn tại một phần tử của trường T, kí hiệu là 0 (chú ý, đừng nhầm với số 0), có tính chất: với mọi phần tử a thuộc trường T ta có a ⊕ 0 = a.
  • Tồn tại phần tử đối — Với mỗi phần tử a thuộc trường T phải tồn tại một phần tử của trường T, kí hiệu là -a, sao cho a ⊕ −a = 0.
  • Tính chất giao hoán của phép nhân — Với hai phần tử bất kì a, b thuộc trường T ta có a ⊗ b = b ⊗ a.
  • Tính chất kết hợp của phép nhân — Với ba phần tử bất kì a, b, c thuộc trường T ta có (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
  • Tồn tại phần tử đơn vị - Phải tồn tại một phần tử của trường T, kí hiệu là 1 (chú ý, đừng nhầm với số 1), có tính chất: với mọi phần tử a thuộc trường T ta có a ⊗ 1 = a.
  • Tồn tại phần tử nghịch đảo — Với mỗi phần tử a khác 0 thuộc trường T phải tồn tại một phần tử của trường T, kí hiệu là a−1, sao cho a ⊗ a−1 = 1.
  • Tính chất phân phối - Với ba phần tử bất kì a, b, c thuộc trường T ta có a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
  • Tính không tầm thường — Phần tử không và phần tử đơn vị không được trùng nhau, tức là 0 ≠ 1

Dành cho ai muốn luyện tập cách viết hình thức, dưới đây là các tiên đề của trường viết bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học.

  1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
  • ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
  • ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
  • ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
  • ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
  • ∀a ∈ T   ∃a−1 ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a−1 = 1
  • ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
  • 0 ≠ 1

Có thể bạn đang nghĩ rằng tiên đề gì mà nhiều quá. Nhưng hiểu ý nghĩa của chúng thì tiên đề nào cũng dễ nắm. 4 tiên đề đầu mô tả các tính chất quen thuộc của phép cộng, 4 tiên đề tiếp theo mô tả các tính chất quen thuộc của phép nhân và rất giống 4 tiên đề đầu. Tiên đề thứ chín cho biết phép cộng và phép nhân liên hệ với nhau thế nào. Chỉ có tiên đề thứ mười mang tính kĩ thuật: nó bảo đảm trường không có những tính chất kì quặc.

Để ý rằng ta đã khéo léo tránh phải định nghĩa phép trừ và phép chia. Hai phép toán này quy về phép cộng với phần tử đối và phép nhân với phần tử nghịch đảo. Chẳng hạn 4 − 2 chỉ là cách viết tắt của 4 + (−2), còn 4 / 2 là cách viết tắt của 4 · 2−1.

Hình dung trực quan về trường

Đến đây ta đã định nghĩa hình thức khái niệm trường. Nếu muốn diễn đạt trực quan trường là gì, có thể nói đó là một cấu trúc cho phép cộng, trừ, nhân và chia những đối tượng bất kì mà ta định nghĩa được các phép toán này trên đó, và làm theo cách tương tự như khi thực hiện các phép toán trong số học sơ cấp.

Trường đầu tiên của ta

Đã mô tả trường xong, giờ ta thử xây dựng một trường cụ thể. Trước hết chọn tập các phần tử của trường. Tạm thời chưa thí nghiệm với voi nhồi bông hay tất, ta chọn các phần tử là số tự nhiên. Để mọi thứ thật đơn giản, chỉ lấy các số 0, 1, 2, 3, 4. Như vậy tập T có dạng:

T={0;1;2;3;4}

Còn lại chỉ cần định nghĩa khéo léo hai phép toán ⊕ và ⊗. Ta dựa vào phép cộng và phép nhân đã biết trong số học, nhưng sửa đổi một chút để chúng hoạt động được trên trường của ta.

  • Phép toán ⊕ Tổng của hai phần tử a ⊕ b là số dư khi chia tổng a + b cho 5. Như vậy, phép cộng trong trường của ta trông như sau: 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1 v.v.
  • Phép toán ⊗ Tích của hai phần tử a ⊗ b là số dư khi chia tích ab cho 5. Như vậy, phép nhân trong trường của ta trông như sau: 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    v.v.

Xong. Ta đã có một trường hoàn chỉnh. Tuy nhiên, nên kiểm tra tất cả các tiên đề để chắc chắn rằng ta thật sự tạo ra một trường chứ không phải một thứ chắp vá.

  • Tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng và phép nhân, cũng như tính chất phân phối, chắc chắn bạn tự kiểm tra được.
  • Từ cách định nghĩa phép cộng và phép nhân cũng suy ra tồn tại phần tử không (ở đây tình cờ lại chính là số 0) và phần tử đơn vị (ở đây là số 1), và hai phần tử này khác nhau.
  • Như vậy chỉ còn phải kiểm tra sự tồn tại của phần tử đối và phần tử nghịch đảo. Dễ thấy rằng với mỗi số thuộc tập {0; 1; 2; 3; 4} đều có một số thuộc cùng tập đó sao cho tổng của chúng bằng 0 hoặc 5 (tức là bằng 0 trong trường của ta).
  • Với phép nhân cũng tương tự: với mỗi số khác 0 thuộc tập này đều có một số mà tích của hai số chia cho 5 dư 1 (tức là bằng 1 trong trường của ta). Chẳng hạn số 4 có phần tử nghịch đảo là 4, vì 4 · 4 = 16 và 16 chia cho 5 dư 1. Hãy thử tìm các phần tử nghịch đảo còn lại!

Ví dụ về các trường khác

Vừa rồi ta đã tạo ra một trường có 5 phần tử. Hoá ra bằng cách tương tự có thể tạo ra những trường khác mà số phần tử là một số nguyên tố. Các trường như vậy gọi là trường các lớp thặng dư, kí hiệu là Zp, trong đó p là số phần tử của trường. Chúng được dùng rất thường xuyên trong toán học và tin học, và tất nhiên cả trong các bài kiểm tra.

Có tạo được trường có số phần tử không phải số nguyên tố không? Có, nhưng không thể làm theo cách vừa trình bày. Vì sao? Hãy hình dung một trường được tạo theo cách trên nhưng chỉ có 4 phần tử. Trong trường đó ta có 2 ⊗ 2 = 0, tức là tích của hai số khác 0 lại bằng 0. Điều này không được xảy ra trong một trường. Các tiên đề của trường không cấm trực tiếp điều đó, nhưng có thể suy ra từ chúng khá dễ dàng. Tuy nhiên, nếu thay các số bằng các đa thức làm phần tử của trường thì có thể tạo được cả những trường có số phần tử là luỹ thừa của một số nguyên tố. Vì vậy trường có 4 phần tử vẫn tồn tại, bởi 4 là luỹ thừa của 2.

Tất nhiên cũng có những trường có vô hạn phần tử. Chẳng hạn tập số thực cùng với phép cộng và phép nhân thông thường cũng là một trường. Điều này không chỉ đúng với số thực mà cả với số hữu tỉ và số phức. Tập số tự nhiên và tập số nguyên thì không phải là trường, vì trong chúng lần lượt thiếu phần tử đối và phần tử nghịch đảo.

Điều thú vị nhất để dành đến cuối. Không ai bắt buộc trường phải gồm các số, các đa thức hay thậm chí các đối tượng toán học. Như đã nói, bạn có thể tạo ra một trường gồm những chiếc tất, những con voi nhồi bông, v.v. Khó khăn duy nhất có lẽ là định nghĩa phép cộng và phép nhân voi như thế nào. Điều thú vị ở đây là bạn sẽ không bao giờ tạo được một trường gồm 6 chiếc tất, vì 6 không phải số nguyên tố cũng không phải luỹ thừa của một số nguyên tố. Nhưng bạn hoàn toàn có thể tạo một trường gồm 17 chiếc tất, đánh số từng chiếc (tất trắng là 0, tất đen là 1, tất xanh lá là 2, v.v.) rồi cộng chúng giống như ta đã cộng trong trường các lớp thặng dư.

Trường dùng để làm gì?

Nếu đã đọc đến đây, có lẽ bạn đang tự hỏi: rốt cuộc cần đến một cấu trúc kì quặc như trường để làm gì? Trường rất quan trọng cả về lí thuyết lẫn thực hành. Về lí thuyết, trường mô tả và nhất là tổng quát hoá cái mà ta gọi là tính toán, tức là số học. Về thực hành, rất nhiều bài toán trong toán học và tin học được giải dễ hơn nếu ta xem chúng như việc tính toán trong trường. Chẳng hạn trường hữu hạn có vai trò lớn trong các mã dùng cho đĩa CD hay DVD. Còn trong bản thân đại số tuyến tính, trường là nền móng cho những cấu trúc phức tạp hơn, hữu ích và thú vị hơn nhiều, chẳng hạn như không gian vectơ. Chính không gian vectơ là nền tảng của toàn bộ đại số tuyến tính.

Bài viết này do Lishaak viết.