Benfords lov

I 1881 lagde den amerikanske astronom Simon Newcomb mærke til noget mærkeligt ved tabellerne over logaritmer. De første sider, hvor tallene begynder med 1, var meget mere slidte end de følgende. Men hvorfor skulle folk slå oftere op i tal, der begynder med 1, end i tal, der begynder med 8 eller 9? Newcomb skrev en kort artikel om det. Ingen lagde mærke til den.

Der gik 57 år. I 1938 lagde fysikeren Frank Benford fra firmaet General Electric uafhængigt af Newcomb mærke til det samme. Og han lod det ikke ligge. Han samlede over 20.000 tal fra 20 forskellige områder: arealer af floders afvandingsområder, fysiske konstanter, dødelighed, tal fra avisartikler, baseballstatistikker… Tal, der overhovedet ikke har noget med hinanden at gøre.

I begyndelsen af et tal kan der stå ni forskellige cifre, fra 1 til 9 (nul står som regel ikke først). Vi ville derfor forvente, at hvert ciffer står først lige ofte, i cirka 11 % af tilfældene. Men sådan var det ikke. Da Benford havde lagt det hele sammen, stod 1-tallet først i cirka 30 % af tallene. Jo højere cifret var, desto sjældnere stod det først, og 9-tallet var første ciffer i kun knap 5 % af tallene. Dette fænomen kalder vi i dag Benfords lov, nogle gange også Newcomb–Benfords lov.

Hvorfor netop 1-tallet

Forestil dig en by med 100 indbyggere, hvor antallet vokser med 10 % hvert år. Efter hele år har byen afrundet 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… indbyggere. For at komme fra 100 til 200 skal antallet af indbyggere vokse med 100 %, og det tager 8 år. Efter syv år har byen 195 indbyggere, i det ottende år allerede over 200.

Fra 200 til 300 er det nok med en vækst på 50 %, og fra 800 til 900 kun 12,5 %. Jo højere det første ciffer er, desto hurtigere springer byen det over. På hele vejen fra 100 til 1000 indbyggere, som tager 25 år, begynder antallet af indbyggere med 1 i 8 år, med 2 i 4 år, med 3 i 3 år og med de øvrige cifre kun et år eller to. Med 9 begynder det kun i ét år, hvor byen har 985 indbyggere, og allerede året efter har den over tusind. Otte år ud af 25 er 32 %, tæt på de 30 %. Tal, der vokser med den samme procent, bruger mest tid netop med 1-tallet først.

Det er interessant, at enhederne ikke betyder noget. Hvis du omregner flodernes længder fra kilometer til miles, ændrer alle tallene sig. Men hvis flodernes længder følger Benfords lov, følger de den også i miles. Andelen af 1-taller ændrer sig stort set ikke.

Hvor ofte er hvert ciffer det første

Sandsynligheden for, at et tal begynder med cifret d, er ifølge Benfords lov

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

hvor log₁₀ er 10-talslogaritmen. Lad os først prøve det for 1-tallet, altså sætte d = 1 ind:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Vi lægger sammen i parentesen:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

Cifret 1 står altså først i cirka 30,1 % af tallene. De øvrige cifre ser sådan ud:

Tilsammen giver det præcis 100 %, som det skal. Den stiplede linje i grafen markerer $\frac{1}{9}$, altså den andel, som hvert ciffer ville få, hvis alle var lige almindelige.

Nu hvor vi har formlen, kan vi gå et skridt videre. Loven gælder også for de to første cifre. Vi skal blot i den samme formel sætte tocifrede tal fra 10 til 99 ind for d. Parrene 10 og 11 står derfor meget oftere først end 98 og 99:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Et tal begynder med 10 i cirka 4,1 % af tilfældene og med 11 i 3,8 %, hvorimod 98 eller 99 kun i cirka 0,44 %. Og det samme gælder fx for længderne af verdens floder.

Hvornår loven gælder, og hvornår den ikke gør

Benfords lov gælder for det meste for data, der dækker flere størrelsesordener, altså fra tiere helt op til millioner, og som opstår ved naturlig vækst eller måling. Men heller ikke et stort omfang garanterer den, derfor »for det meste«.

Den gælder ikke for data med begrænset omfang. Højden på voksne ligger mellem 150 og 200 cm, så den begynder næsten altid med 1. Den gælder heller ikke for data med kunstige grænser, fx beløb ved hævning fra en pengeautomat, som er multipla af hundrede og har en øvre grænse. Og den gælder slet ikke for identifikatorer og koder som telefonnumre eller cpr-numre. De er hverken antal eller mål, bare navne skrevet med cifre.

Sådan fanger man svindlere

Den, der finder tal på, har en tendens til at give alle cifre nogenlunde samme chance. I opdigtede fakturaer eller i opdigtet regnskab finder vi så få 1-taller først og for mange højere cifre. Revisorer og skattemyndigheder bruger derfor loven som en indikator for, hvor de skal kigge. I forensisk revision er det et almindeligt værktøj.

Et bevis for svindel er det dog ikke. Et firma, der sælger ét produkt for 790 kr., får masser af fakturaer, der begynder med 7, når der købes ét stykke ad gangen, og alligevel har ingen forfalsket noget. Afvigelsen siger bare, at det kan betale sig at se nærmere på det.

En undersøgelse af Bernhard Rauch og kolleger fra 2011 sammenlignede med Benfords lov de makroøkonomiske data, som staterne i Den Europæiske Union i årene 1999–2009 indberettede til Eurostat på grund af reglerne om underskud. Blandt landene i euroområdet afveg data fra Grækenland mest fra loven, altså det land, som det på det tidspunkt viste sig havde fordrejet oplysningerne om sit underskud.

Efter det iranske præsidentvalg i 2009, som Mahmoud Ahmadinejad vandt, analyserede statistikere stemmetallene. Ved valg egner det første ciffer sig dog ikke, for valgdistrikterne har nogenlunde samme størrelse, og stemmetallene dækker derfor ikke nok størrelsesordener. Walter Mebane testede derfor det andet ciffer i resultaterne fra de enkelte valgurner efter Benfords lov og fandt afvigelser for tre af de fire kandidater. Bernd Beber og Alexandra Scacco undersøgte de sidste cifre i resultaterne fra provinserne. De skulle være ligeligt fordelt, hvert i cirka 10 % af tilfældene, men der var 17 % 7-taller og kun 4 % 5-taller. Mebane selv understregede, at hans analyse ikke beviser manipulation, men kun understøtter den. Et bevis for svindel var det ikke i nogen af tilfældene.

Prøv det selv på dine egne data, fx på et kontoudtog eller på priserne på en kvittering. Og hvis du ikke har nogen data ved hånden, så tag potenserne af to. Af de første tusind potenser, altså 2¹ til 2¹⁰⁰⁰, begynder 301 med 1, og Benfords lov forudsiger også 301. Det kan næsten ikke passe bedre.

Se også

• Logaritmefunktioner
• Grundlæggende statistik
• Fødselsdagsparadokset