Benfordsches Gesetz

Im Jahr 1881 fiel dem amerikanischen Astronomen Simon Newcomb etwas Merkwürdiges an den Logarithmentafeln auf. Die ersten Seiten, auf denen die Zahlen stehen, die mit einer Eins beginnen, waren viel abgegriffener als die folgenden. Aber warum sollten Menschen Zahlen, die mit einer Eins beginnen, häufiger nachschlagen als solche, die mit einer Acht oder Neun beginnen? Newcomb schrieb darüber einen kurzen Artikel. Niemand nahm ihn wahr.

Es vergingen 57 Jahre. Im Jahr 1938 bemerkte unabhängig davon der Physiker Frank Benford von der Firma General Electric dasselbe. Und er ließ es nicht auf sich beruhen. Er sammelte über 20.000 Zahlen aus 20 verschiedenen Bereichen: Einzugsgebiete von Flüssen, physikalische Konstanten, Sterblichkeit, Zahlen aus Zeitungsartikeln, Baseballstatistiken … Zahlen, die überhaupt nichts miteinander zu tun haben.

Am Anfang einer Zahl können neun verschiedene Ziffern stehen, von 1 bis 9 (eine Null steht am Anfang normalerweise nicht). Wir würden also erwarten, dass jede gleich oft die erste ist, in etwa 11 % der Fälle. Aber so war es nicht. Als Benford alles zusammengezählt hatte, stand die Eins bei etwa 30 % der Zahlen am Anfang. Je größer die Ziffer, desto seltener war sie die erste, und mit einer Neun begannen nur knapp 5 % der Zahlen. Dieses Phänomen heißt heute Benfordsches Gesetz, manchmal auch Newcomb–Benfordsches Gesetz.

Warum gerade die Eins

Stell dir eine Gemeinde mit 100 Einwohnern vor, deren Einwohnerzahl jedes Jahr um 10 % wächst. Nach ganzen Jahren hat die Gemeinde gerundet 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214 … Einwohner. Damit sie von 100 auf 200 kommt, muss die Einwohnerzahl um 100 % wachsen, und das dauert 8 Jahre. Nach sieben Jahren hat die Gemeinde 195 Einwohner, im achten Jahr schon über 200.

Von 200 auf 300 genügt schon ein Zuwachs um 50 %, und von 800 auf 900 nur um 12,5 %. Je größer die erste Ziffer ist, desto schneller überspringt die Gemeinde sie. Auf dem ganzen Weg von 100 auf 1.000 Einwohner, der 25 Jahre dauert, beginnt die Einwohnerzahl 8 Jahre lang mit einer Eins, 4 Jahre mit einer Zwei, 3 Jahre mit einer Drei und mit den weiteren Ziffern nur noch ein oder zwei Jahre. Mit einer Neun beginnt sie nur in einem Jahr, in dem die Gemeinde 985 Einwohner hat, und schon im nächsten Jahr sind es über tausend. Acht Jahre von 25 sind 32 %, nahe an den erwähnten 30 %. Zahlen, die um den gleichen Prozentsatz wachsen, verbringen die meiste Zeit gerade mit der Eins am Anfang.

Interessant ist, dass es auf die Einheiten nicht ankommt. Wenn du die Längen von Flüssen von Kilometern in Meilen umrechnest, ändern sich alle Zahlen. Wenn die Flusslängen aber das Benfordsche Gesetz erfüllen, erfüllen sie es auch in Meilen. Der Anteil der Einsen bleibt ungefähr gleich.

Wie oft ist welche Ziffer die erste

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl mit der Ziffer d beginnt, ist nach dem Benfordschen Gesetz

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

wobei log₁₀ der dekadische Logarithmus ist. Probieren wir es zuerst für die Eins aus, setzen wir also d = 1 ein:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Wir rechnen in der Klammer zusammen:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

Die Eins steht also am Anfang von etwa 30,1 % der Zahlen. Die übrigen Ziffern schneiden so ab:

Zusammen ergibt das genau 100 %, wie es sein soll. Die gestrichelte Linie im Diagramm markiert $\frac{1}{9}$, also den Anteil, der auf jede Ziffer entfiele, wenn alle gleich häufig wären.

Wenn wir die Formel schon haben, können wir einen Schritt weitergehen. Das Gesetz gilt auch für die ersten zwei Ziffern. Wir müssen nur in dieselbe Formel für d die zweistelligen Zahlen von 10 bis 99 einsetzen. Die Paare 10 und 11 stehen so am Anfang viel häufiger als 98 und 99:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Eine Zahl beginnt in etwa 4,1 % der Fälle mit den Ziffern 10 und in 3,8 % mit 11, mit 98 oder 99 dagegen nur in etwa 0,44 %. Und dasselbe gilt zum Beispiel auch für die Längen der Flüsse der Welt.

Wann das Gesetz gilt und wann nicht

Das Benfordsche Gesetz gilt meistens für Daten, die mehrere Größenordnungen umfassen, also von Zehnern bis zu Millionen, und durch natürliches Wachstum oder durch Messung entstehen. Auch ein großer Wertebereich garantiert es aber nicht, deshalb „meistens“.

Für Daten mit begrenztem Wertebereich gilt es nicht. Die Körpergröße Erwachsener liegt zwischen 150 und 200 cm, beginnt also fast immer mit einer Eins. Es gilt auch nicht für Daten mit künstlichen Grenzen, zum Beispiel für Beträge von Geldautomatenabhebungen, die Vielfache von Hundert sind und eine Obergrenze haben. Und auf Kennungen und Codes wie Telefonnummern oder Steuer-Identifikationsnummern lässt es sich überhaupt nicht anwenden. Das sind weder Anzahlen noch Maße, nur Namen, die mit Ziffern geschrieben werden.

Wie man damit Betrüger erwischt

Wer sich Zahlen ausdenkt, neigt dazu, allen Ziffern ähnliche Chancen zu geben. In erfundenen Rechnungen oder einer erfundenen Buchhaltung finden wir dann wenige Einsen am Anfang und zu viele höhere Ziffern. Prüfer und Finanzämter nutzen das Gesetz deshalb als Hinweis, wo sie genauer hinschauen sollten. In der forensischen Buchhaltung ist es ein gängiges Werkzeug.

Ein Beweis für Betrug ist es aber nicht. Eine Firma, die ein einziges Produkt für 790 Euro verkauft, hat viele Rechnungen, die mit einer Sieben beginnen, wenn jeweils nur ein Stück gekauft wird, und dennoch hat niemand etwas gefälscht. Die Abweichung sagt nur, dass es sich lohnt, genauer hinzuschauen.

Eine Studie von Bernhard Rauch und Kollegen aus dem Jahr 2011 verglich die makroökonomischen Daten, die die Staaten der Europäischen Union in den Jahren 1999–2009 wegen der Defizitregeln an Eurostat gemeldet hatten, mit dem Benfordschen Gesetz. Unter den Ländern der Eurozone wichen die Daten Griechenlands am stärksten vom Gesetz ab, also eines Landes, von dem sich damals zeigte, dass es die Angaben zu seinem Defizit verfälscht hatte.

Nach der iranischen Präsidentschaftswahl im Jahr 2009, die Mahmud Ahmadinedschad gewann, analysierten Statistiker die Stimmenzahlen. Bei Wahlen eignet sich die erste Ziffer allerdings nicht, weil die Wahlbezirke ähnlich groß sind und die Stimmenzahlen daher nicht genug Größenordnungen abdecken. Walter Mebane testete deshalb nach dem Benfordschen Gesetz die zweite Ziffer der Ergebnisse aus den einzelnen Wahlurnen und fand bei drei von vier Kandidaten Abweichungen. Bernd Beber und Alexandra Scacco untersuchten die letzten Ziffern der Ergebnisse in den Provinzen. Diese sollten gleichmäßig verteilt sein, jede in etwa 10 % der Fälle, aber auf die Sieben entfielen 17 % und auf die Fünf nur 4 %. Mebane selbst betonte, dass seine Analyse die Manipulation nicht beweise, sondern nur stütze. Ein Beweis für Betrug war es in keinem der beiden Fälle.

Probiere es selbst an eigenen Daten aus, zum Beispiel am Kontoauszug oder an den Preisen auf einem Kassenbon. Und wenn du keine Daten zur Hand hast, nimm die Zweierpotenzen. Von den ersten tausend Potenzen, also von 2¹ bis 2¹⁰⁰⁰, beginnen 301 mit einer Eins, und das Benfordsche Gesetz sagt ebenfalls 301 voraus. Besser kann es kaum passen.

Siehe auch

• Logarithmusfunktionen
• Grundlagen der Statistik
• Geburtstagsparadoxon