Benford-törvény

1881-ben Simon Newcomb amerikai csillagász furcsa dolgot vett észre a logaritmustáblázatokon. Azok az első oldalak, amelyeken az egyessel kezdődő számok vannak, sokkal kopottabbak voltak a többinél. De miért keresnének az emberek gyakrabban egyessel kezdődő számokat, mint nyolcassal vagy kilencessel kezdődőket? Newcomb írt erről egy rövid cikket. Senki sem vett róla tudomást.

Eltelt 57 év. 1938-ban ugyanezt tőle függetlenül észrevette Frank Benford fizikus, a General Electric munkatársa. És ő nem hagyta annyiban. Összegyűjtött több mint 20 000 számot 20 különböző területről: folyók vízgyűjtő területeit, fizikai állandókat, halálozási adatokat, újságcikkekben szereplő számokat, baseballstatisztikákat… Olyan számokat, amelyeknek semmi közük egymáshoz.

Egy szám elején kilenc különböző számjegy állhat, 1-től 9-ig (nulla a szám elején általában nincs). Arra számítanánk tehát, hogy mindegyik egyformán gyakran áll az első helyen, nagyjából az esetek 11%-ában. De nem így volt. Amikor Benford mindent összeszámolt, az egyes a számok nagyjából 30%-ának az elején állt. Minél nagyobb a számjegy, annál ritkábban volt az első, és a kilenccel a számoknak alig kevesebb mint 5%-a kezdődött. Ezt a jelenséget ma Benford-törvénynek hívják, néha Newcomb–Benford-törvénynek is.

Miért pont az egyes

Képzelj el egy 100 lakosú községet, amelynek a lakossága évente 10%-kal nő. Egész években számolva a községnek kerekítve 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… lakosa lesz. Hogy 100-ról 200-ra jusson, a lakosságnak 100%-kal kell nőnie, és ez 8 évig tart. Hét év után a községnek 195 lakosa van, a nyolcadik évben pedig már több mint 200.

200-ról 300-ra már elég az 50%-os növekedés, 800-ról 900-ra pedig csak 12,5%. Minél nagyobb az első számjegy, annál gyorsabban átlép rajta a község. A 100-ról 1000 lakosig vezető úton, amely 25 évig tart, a lakosság száma 8 évig kezdődik egyessel, 4 évig kettessel, 3 évig hármassal, a többi számjeggyel pedig már csak egy-két évig. Kilenccel csak egy évig kezdődik, amikor a községnek 985 lakosa van, és a következő évben már több mint ezer. A 25-ből 8 év a 32%, vagyis közel a 30%-hoz. Azok a számok, amelyek ugyanannyi százalékkal nőnek, a legtöbb időt éppen egyessel az elejükön töltik.

Érdekes, hogy a mértékegységeken nem múlik semmi. Ha a folyók hosszát kilométerről mérföldre számolod át, minden szám megváltozik. De ha a folyók hossza teljesíti a Benford-törvényt, akkor mérföldben is teljesíti. Az egyesek aránya nagyjából nem változik.

Melyik számjegy milyen gyakran áll az első helyen

Annak a valószínűsége, hogy egy szám a d számjeggyel kezdődik, a Benford-törvény szerint

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

ahol a log₁₀ a tízes alapú logaritmus. Próbáljuk ki először az egyesre, azaz helyettesítsünk be d = 1-et:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Összeadjuk a zárójelben:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

Az egyes tehát a számok nagyjából 30,1%-ának az elején áll. A többi számjegy így alakul:

Összesen pontosan 100%-ot ad, ahogy kell. A grafikonon a szaggatott vonal az $\frac{1}{9}$-et jelöli, vagyis azt az arányt, amely mindegyik számjegyre jutna, ha mind egyformán gyakori lenne.

Ha már megvan a képlet, mehetünk egy lépéssel tovább. A törvény az első két számjegyre is igaz. Ugyanabba a képletbe elég d helyére beírni a 10 és 99 közötti kétjegyű számokat. A 10 és a 11 így sokkal gyakrabban áll a szám elején, mint a 98 és a 99:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

A számok az esetek nagyjából 4,1%-ában kezdődnek 10-zel és 3,8%-ában 11-gyel, a 98 vagy a 99 viszont csak nagyjából 0,44%-ukban áll az elején. Ugyanez igaz például a világ folyóinak hosszára is.

Mikor igaz a törvény, és mikor nem

A Benford-törvény többnyire olyan adatokra igaz, amelyek több nagyságrendet fednek le, tehát a tízesektől egészen a milliókig terjednek, és természetes növekedésből vagy mérésből származnak. A nagy terjedelem azonban önmagában még nem garantálja, innen a „többnyire”.

Nem igaz korlátozott terjedelmű adatokra. A felnőttek magassága 150 és 200 cm között mozog, ezért szinte mindig egyessel kezdődik. Nem igaz a mesterséges korlátokkal bíró adatokra sem, például a bankautomatából felvett összegekre, amelyek százasok többszörösei, és felső határuk van. És egyáltalán nem vonatkozik azonosítókra és kódokra, például a telefonszámokra vagy a személyi azonosítókra. Ezek nem mennyiségek és nem mértékek, csak számjegyekkel leírt nevek.

Hogyan buknak le a csalók

Aki kitalálja a számokat, hajlamos mindegyik számjegynek nagyjából egyforma esélyt adni. A kitalált számlákban vagy a könyvelésben így kevés egyest találunk a számok elején, a nagyobb számjegyekből pedig túl sokat. A könyvvizsgálók és az adóhatóságok ezért a törvényt jelzőként használják, hogy hova érdemes nézni. Az igazságügyi könyvelésben ez bevett eszköz.

Ez azonban még nem bizonyítja a csalást. Az a cég, amely egy terméket 790 forintért ad el, rengeteg hetessel kezdődő számlát fog kiállítani, ha egyesével vásárolnak, és közben senki sem hamisított semmit. Az eltérés csak annyit mond, hogy érdemes közelebbről megnézni.

Bernhard Rauch és munkatársai 2011-es tanulmánya összevetette a Benford-törvénnyel azokat a makrogazdasági adatokat, amelyeket az Európai Unió tagállamai 1999 és 2009 között a hiányra vonatkozó szabályok miatt jelentettek az Eurostatnak. Az euróövezeti országok közül a törvénytől leginkább Görögország adatai tértek el, vagyis annak az országnak az adatai, amelyről akkoriban kiderült, hogy a hiányáról szóló adatokat torzította.

A 2009-es iráni elnökválasztás után, amelyet Mahmúd Ahmadinezsád nyert meg, statisztikusok elemezték a szavazatszámokat. Választásoknál az első számjegy azonban nem alkalmas, mert a szavazókörök hasonló nagyságúak, így a szavazatszámok nem fednek le elég nagyságrendet. Walter Mebane ezért a Benford-törvény alapján a második számjegyet vizsgálta az egyes urnák eredményeiben, és a négy jelölt közül háromnál talált eltéréseket. Bernd Beber és Alexandra Scacco a tartományok eredményeinek utolsó számjegyeit vizsgálta. Ezeknek egyenletesen kellene eloszlaniuk, mindegyiknek nagyjából az esetek 10%-ában, de hetes 17%-ban fordult elő, ötös pedig csak 4%-ban. Mebane maga hangsúlyozta, hogy az elemzése a manipulációt nem bizonyítja, csak alátámasztja. A csalás bizonyítéka egyik esetben sem volt.

Próbáld ki magad a saját adataidon, például a bankszámlakivonaton vagy a blokkon szereplő árakon. És ha nincs kéznél semmilyen adat, vedd a kettő hatványait. Az első ezer hatványból, vagyis 2¹-től 2¹⁰⁰⁰-ig, 301 kezdődik egyessel, és a Benford-törvény is 301-et jósol. Ennél jobban aligha egyezhetne.

Lásd még

• Logaritmusfüggvények
• Statisztika alapjai
• Születésnap-paradoxon