Benfords lov

I 1881 la den amerikanske astronomen Simon Newcomb merke til noe merkelig i logaritmetabellene. De første sidene, med tall som begynner med ener, var mye mer slitt enn de neste. Men hvorfor skulle folk slå opp tall som begynner med ener oftere enn de som begynner med åtte eller ni? Newcomb skrev en kort artikkel om det. Ingen la merke til den.

Det gikk 57 år. I 1938 la fysikeren Frank Benford fra firmaet General Electric uavhengig merke til det samme. Og han lot det ikke ligge. Han samlet over 20 000 tall fra 20 ulike områder: arealer av elvenes nedbørfelt, fysiske konstanter, dødelighet, tall fra avisartikler, baseballstatistikk… Tall som ikke har noe som helst med hverandre å gjøre.

Først i tallet kan det stå ni ulike sifre, fra 1 til 9 (null står sjelden først). Vi skulle derfor vente at hvert av dem står først like ofte, i omtrent 11 % av tilfellene. Men slik var det ikke. Da Benford hadde talt sammen alt, sto ener først i omtrent 30 % av tallene. Jo høyere siffer, desto sjeldnere sto det først, og med ni begynte bare knapt 5 % av tallene. Dette fenomenet kalles i dag Benfords lov, noen ganger også Newcomb–Benfords lov.

Hvorfor akkurat ener

Tenk deg en kommune med 100 innbyggere, der folketallet vokser med 10 % hvert år. Etter hele år vil kommunen ha avrundet 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… innbyggere. For å komme fra 100 til 200 må folketallet vokse med 100 %, og det tar 8 år. Etter sju år har kommunen 195 innbyggere, i det åttende året allerede over 200.

Fra 200 til 300 holder det med en vekst på 50 %, og fra 800 til 900 bare 12,5 %. Jo høyere første siffer er, desto raskere hopper kommunen over det. På hele veien fra 100 til 1000 innbyggere, som tar 25 år, begynner folketallet med ener i 8 år, med to i 4 år, med tre i 3 år og med de andre sifrene bare i ett eller to år. Med ni begynner det bare i ett år, når kommunen har 985 innbyggere, og året etter har den over tusen. Åtte år av 25 er 32 %, nær de nevnte 30 %. Tall som vokser med den samme prosenten, bruker mest tid akkurat med ener først.

Det interessante er at enhetene ikke spiller noen rolle. Hvis du regner om lengdene på elver fra kilometer til miles (engelske miles, ikke norske mil), endres alle tallene. Men hvis elvelengdene følger Benfords lov, følger de den også i miles. Andelen ener endres omtrent ikke.

Hvor ofte er hvert siffer først

Sannsynligheten for at et tall begynner med sifferet d, er ifølge Benfords lov

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

der log₁₀ er logaritmen med grunntall 10. La oss først prøve for ener, altså sette inn d = 1:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Vi legger sammen i parentesen:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

Ener er altså første siffer i omtrent 30,1 % av tallene. De andre sifrene blir slik:

Til sammen gir det nøyaktig 100 %, som det skal. Den stiplede linjen i grafen markerer $\frac{1}{9}$, altså andelen som ville tilfalt hvert siffer hvis alle var like vanlige.

Nå som vi har formelen, kan vi gå et skritt videre. Loven gjelder også for de to første sifrene. Det holder å sette inn tosifrede tall fra 10 til 99 for d i den samme formelen. Begynnelsene 10 og 11 står altså først mye oftere enn 98 og 99:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Tallet begynner med 10 i omtrent 4,1 % av tilfellene og med 11 i 3,8 %, mens 98 eller 99 bare i omtrent 0,44 %. Og det samme gjelder for eksempel lengdene på verdens elver.

Når loven gjelder og når ikke

Benfords lov gjelder som regel for data som dekker flere størrelsesordener, altså fra tiere helt opp til millioner, og som oppstår ved naturlig vekst eller måling. Men heller ikke et stort omfang garanterer den, derfor «som regel».

Den gjelder ikke for data med begrenset omfang. Høyden til voksne ligger mellom 150 og 200 cm, så den begynner nesten alltid med ener. Den gjelder heller ikke for data med kunstige grenser, for eksempel beløp som tas ut i minibank, som er multipler av hundre og har en øvre grense. Og den gjelder slett ikke for identifikatorer og koder, som telefonnumre eller fødselsnumre. De er verken antall eller mål, bare navn skrevet med sifre.

Hvordan svindlere blir tatt

Den som finner på tall, har en tendens til å gi alle sifrene omtrent lik sjanse. I oppdiktede fakturaer eller regnskaper finner vi da få ener først og for mange høyere siffer. Revisorer og skattemyndigheter bruker derfor loven som en pekepinn om hvor de bør se etter. I økonomiske granskinger er det et vanlig verktøy.

Det er likevel ikke bevis for svindel. En bedrift som selger ett produkt for 790 kr, vil ha mange fakturaer som begynner med sju, når det kjøpes ett stykke om gangen, og likevel har ingen forfalsket noe. Avviket sier bare at det er verdt å se nærmere på.

En studie av Bernhard Rauch og kolleger fra 2011 sammenlignet makroøkonomiske data som statene i Den europeiske union meldte til Eurostat i årene 1999–2009 på grunn av reglene om underskudd, med Benfords lov. Av landene i eurosonen avvek dataene fra Hellas mest fra loven, altså landet som det på den tiden viste seg at hadde forvrengt opplysningene om underskuddet sitt.

Etter det iranske presidentvalget i 2009, som Mahmoud Ahmadinejad vant, analyserte statistikere stemmetallene. Ved valg passer imidlertid første siffer dårlig, for valgkretsene er omtrent like store, og stemmetallene dekker dermed ikke nok størrelsesordener. Walter Mebane testet derfor andre siffer i resultatene fra de enkelte valgurnene etter Benfords lov og fant avvik for tre av fire kandidater. Bernd Beber og Alexandra Scacco undersøkte de siste sifrene i resultatene i provinsene. De skulle være jevnt fordelt, hvert i omtrent 10 % av tilfellene, men sjuere var det 17 % av, og femmere bare 4 %. Mebane understreket selv at analysen hans ikke beviser manipulasjon, bare støtter den. Bevis for svindel var det ikke i noen av tilfellene.

Prøv det selv på dine egne data, for eksempel på kontoutskriften eller på prisene på en kvittering. Og hvis du ikke har noen data for hånden, ta potensene av to. Av de første tusen potensene, altså 2¹ til 2¹⁰⁰⁰, begynner 301 med ener, og Benfords lov forutsier også 301. Bedre kan det vel ikke passe.

Se også

• Logaritmer
• Grunnleggende statistikk
• Bursdagsparadokset