Legea lui Benford

În 1881, astronomul american Simon Newcomb a observat un lucru ciudat la tabelele de logaritmi. Primele pagini, pe care se aflau numerele care încep cu cifra 1, erau mult mai uzate decât cele următoare. Dar de ce ar căuta oamenii numerele care încep cu 1 mai des decât pe cele care încep cu 8 sau cu 9? Newcomb a scris despre asta un articol scurt. Nimeni nu l-a băgat în seamă.

Au trecut 57 de ani. În 1938, fizicianul Frank Benford de la compania General Electric a observat același lucru, independent de Newcomb. Și nu a lăsat-o baltă. A strâns peste 20.000 de numere din 20 de domenii diferite: suprafețele bazinelor hidrografice ale râurilor, constante fizice, rate de mortalitate, numere din articole de ziar, statistici de baseball… Numere care nu au absolut nimic în comun.

La începutul unui număr poate sta una dintre nouă cifre diferite, de la 1 la 9 (zero nu apare de obicei la început). Ne-am aștepta deci ca fiecare cifră să fie prima la fel de des, în aproximativ 11% din cazuri. Numai că nu a fost așa. Când Benford a adunat totul, cifra 1 se afla la începutul a aproximativ 30% dintre numere. Cu cât cifra era mai mare, cu atât apărea mai rar pe primul loc, iar cifra 9 începea doar puțin sub 5% dintre numere. Acest fenomen se numește astăzi legea lui Benford, uneori și legea Newcomb–Benford.

De ce tocmai cifra 1

Imaginează-ți o comună cu 100 de locuitori, al căror număr crește în fiecare an cu 10%. După ani întregi, comuna va avea, rotunjit, 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… locuitori. Ca să ajungă de la 100 la 200, numărul locuitorilor trebuie să crească cu 100%, iar asta durează 8 ani. După șapte ani comuna are 195 de locuitori, iar în al optulea an depășește deja 200.

De la 200 la 300 este de ajuns o creștere de 50%, iar de la 800 la 900 doar de 12,5%. Cu cât prima cifră este mai mare, cu atât comuna o depășește mai repede. Pe tot drumul de la 100 la 1000 de locuitori, care durează 25 de ani, numărul locuitorilor începe cu 1 timp de 8 ani, cu 2 timp de 4 ani, cu 3 timp de 3 ani, iar cu celelalte cifre doar un an sau doi. Cu 9 începe doar timp de un singur an, cel în care comuna are 985 de locuitori, iar în anul următor are deja peste o mie. Opt ani din 25 înseamnă 32%, aproape de cele 30% de mai sus. Numerele care cresc cu același procent petrec cel mai mult timp tocmai cu cifra 1 la început.

Interesant este că unitățile de măsură nu contează. Dacă transformi lungimile râurilor din kilometri în mile, toate numerele se schimbă. Dar dacă lungimile râurilor respectă legea lui Benford, o respectă și în mile. Ponderea numerelor care încep cu 1 rămâne aproximativ aceeași.

Cât de des este fiecare cifră prima

Probabilitatea ca un număr să înceapă cu cifra d este, conform legii lui Benford,

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

unde log₁₀ este logaritmul zecimal. Să încercăm mai întâi pentru cifra 1, adică să înlocuim d = 1:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Adunăm în paranteză:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

Cifra 1 începe așadar aproximativ 30,1% dintre numere. Celelalte cifre se prezintă astfel:

Împreună dau exact 100%, cum trebuie. Linia întreruptă din grafic marchează $\frac{1}{9}$, adică ponderea care i-ar reveni fiecărei cifre dacă toate ar fi la fel de frecvente.

Acum că avem formula, putem merge un pas mai departe. Legea este valabilă și pentru primele două cifre. Este de ajuns să înlocuim în aceeași formulă pe d cu un număr de două cifre, de la 10 la 99. Perechile 10 și 11 apar la începutul numerelor mult mai des decât 98 și 99:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Un număr începe cu 10 în aproximativ 4,1% din cazuri și cu 11 în 3,8%, în timp ce cu 98 sau 99 doar în aproximativ 0,44%. Iar același lucru este valabil, de exemplu, pentru lungimile râurilor lumii.

Când se aplică legea și când nu

Legea lui Benford se aplică de obicei datelor care se întind pe mai multe ordine de mărime, adică de la zeci până la milioane, și care apar prin creștere naturală sau prin măsurare. Dar nici un interval larg nu o garantează, de aceea spunem „de obicei”.

Nu se aplică datelor cu un interval restrâns. Înălțimea adulților se află între 150 și 200 cm, deci începe aproape întotdeauna cu 1. Nu se aplică nici datelor cu limite artificiale, de exemplu sumelor retrase de la bancomat, care sunt multipli de 100 și au o limită superioară. Și nu are deloc legătură cu identificatorii și codurile, cum sunt numerele de telefon sau CNP-urile. Acestea nu sunt nici rezultate ale unei numărări, nici măsurători, ci doar nume scrise cu cifre.

Cum sunt prinși fraudatorii

Cine își inventează numerele tinde să dea tuturor cifrelor o șansă asemănătoare. În facturile sau în contabilitatea inventate vom găsi atunci puține numere care încep cu 1 și prea multe care încep cu cifre mari. De aceea auditorii și fiscul folosesc legea ca indicator pentru a ști unde să se uite. În contabilitatea criminalistică este un instrument obișnuit.

Dar nu este o dovadă de fraudă. O firmă care vinde un singur produs cu 790 de lei va avea o mulțime de facturi care încep cu 7, dacă produsul se cumpără bucată cu bucată, și totuși nimeni nu a falsificat nimic. Abaterea spune doar că merită să te uiți mai atent.

Un studiu al lui Bernhard Rauch și al colegilor săi din 2011 a comparat cu legea lui Benford datele macroeconomice pe care statele Uniunii Europene le-au raportat Eurostatului în perioada 1999–2009 din cauza regulilor privind deficitul. Dintre țările din zona euro, de lege s-au abătut cel mai mult datele Greciei, adică ale țării despre care s-a dovedit în acea vreme că și-a denaturat datele privind deficitul.

După alegerile prezidențiale din Iran din 2009, pe care le-a câștigat Mahmoud Ahmadinejad, statisticienii au analizat numărul de voturi. La alegeri, prima cifră nu este însă potrivită, pentru că secțiile de votare au dimensiuni asemănătoare, iar numărul de voturi nu acoperă suficiente ordine de mărime. De aceea Walter Mebane a testat după legea lui Benford a doua cifră a rezultatelor din fiecare urnă și a găsit abateri la trei dintre cei patru candidați. Bernd Beber și Alexandra Scacco au examinat ultimele cifre ale rezultatelor din provincii. Acestea ar trebui să fie distribuite uniform, fiecare în aproximativ 10% din cazuri, dar cifra 7 a apărut în 17% din cazuri, iar cifra 5 doar în 4%. Mebane însuși a subliniat că analiza lui nu dovedește manipularea, ci doar o susține. În niciunul dintre cazuri nu a fost vorba de o dovadă de fraudă.

Încearcă și tu, pe propriile date, de exemplu pe un extras de cont sau pe prețurile de pe un bon de casă. Iar dacă nu ai la îndemână niciun fel de date, ia puterile lui doi. Dintre primele o mie de puteri, adică de la 2¹ la 2¹⁰⁰⁰, 301 încep cu 1, iar legea lui Benford prezice tot 301. Mai bine de atât cu greu s-ar putea potrivi.

Vezi și

• Funcția logaritmică
• Bazele statisticii
• Paradoxul zilei de naștere