Wet van Benford

In 1881 viel de Amerikaanse astronoom Simon Newcomb iets vreemds op aan tabellen met logaritmen. De eerste pagina's, waarop de getallen staan die met een één beginnen, waren veel viezer en beduimelder dan de volgende. Maar waarom zouden mensen vaker getallen opzoeken die met een één beginnen dan getallen die met een acht of een negen beginnen? Newcomb schreef er een kort artikel over. Niemand merkte het op.

Er verstreken 57 jaar. In 1938 viel hetzelfde, onafhankelijk van Newcomb, de natuurkundige Frank Benford van het bedrijf General Electric op. En hij liet het er niet bij zitten. Hij verzamelde meer dan 20 000 getallen uit 20 verschillende gebieden: oppervlakten van stroomgebieden van rivieren, natuurkundige constanten, sterftecijfers, getallen uit krantenartikelen, honkbalstatistieken… Getallen die helemaal niets met elkaar te maken hebben.

Aan het begin van een getal kunnen negen verschillende cijfers staan, van 1 tot 9 (een nul aan het begin komt meestal niet voor). We zouden dus verwachten dat elk cijfer even vaak het eerste is, in ongeveer 11% van de gevallen. Maar dat was niet zo. Toen Benford alles had opgeteld, stond de één bij ongeveer 30% van de getallen vooraan. Hoe hoger het cijfer, hoe minder vaak het vooraan stond, en met een negen begon nog geen 5% van de getallen. Dit verschijnsel heet tegenwoordig de wet van Benford, soms ook de wet van Newcomb-Benford.

Waarom juist de één

Stel je een dorp voor met 100 inwoners, waarvan het aantal elk jaar met 10% toeneemt. Aan het eind van elk jaar heeft het dorp afgerond 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… inwoners. Om van 100 naar 200 te komen, moet het aantal inwoners met 100% toenemen, en dat duurt 8 jaar. Na zeven jaar heeft het dorp 195 inwoners, in het achtste jaar al meer dan 200.

Van 200 naar 300 is een toename van 50% genoeg en van 800 naar 900 maar van 12,5%. Hoe hoger het eerste cijfer, hoe sneller het dorp erdoorheen gaat. Op de hele weg van 100 naar 1000 inwoners, die 25 jaar duurt, begint het aantal inwoners 8 jaar met een één, 4 jaar met een twee, 3 jaar met een drie en met de volgende cijfers nog maar een jaar of twee. Met een negen begint het maar één jaar, het jaar waarin het dorp 985 inwoners heeft, en het jaar daarna zijn het er al meer dan duizend. Acht jaar van 25 is 32%, dicht bij die 30%. Getallen die met hetzelfde percentage groeien, brengen de meeste tijd door met precies de één vooraan.

Interessant is dat het niet uitmaakt welke eenheden je gebruikt. Als je de lengtes van rivieren van kilometers naar mijlen omrekent, veranderen alle getallen. Maar als de lengtes van rivieren de wet van Benford volgen, volgen ze die ook in mijlen. Het aandeel enen verandert grofweg niet.

Hoe vaak is welk cijfer het eerste

De kans dat een getal met cijfer d begint, is volgens de wet van Benford

$$P(d)={}^{10}\log (1+\frac{1}{d}),$$

waarbij {}¹⁰log de logaritme met grondtal 10 is. Laten we het eerst voor de één proberen, dus vullen we d = 1 in:

$$P(1)={}^{10}\log (1+\frac{1}{1})$$

We tellen tussen de haakjes op:

$$P(1)={}^{10}\log 2\approx \mathrm{0,301}$$

Een één staat dus bij ongeveer 30,1% van de getallen vooraan. De andere cijfers komen er zo uit:

Samen is dat precies 100%, zoals het hoort. De stippellijn in de grafiek geeft $\frac{1}{9}$ aan, dus het aandeel dat elk cijfer zou krijgen als ze allemaal even vaak voorkwamen.

Nu we de formule hebben, kunnen we een stap verder gaan. De wet geldt ook voor de eerste twee cijfers. We hoeven in dezelfde formule alleen voor d de tweecijferige getallen van 10 tot 99 in te vullen. De paren 10 en 11 staan dan veel vaker vooraan dan 98 en 99:

$${}^{10}\log (1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${}^{10}\log (1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${}^{10}\log (1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${}^{10}\log (1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Een getal begint in ongeveer 4,1% van de gevallen met 10 en in 3,8% met 11, terwijl 98 of 99 maar in ongeveer 0,44% voorkomt. En hetzelfde geldt bijvoorbeeld voor de lengtes van de rivieren van de wereld.

Wanneer de wet geldt en wanneer niet

De wet van Benford geldt meestal voor gegevens die meerdere ordes van grootte beslaan, dus van tientallen tot miljoenen, en die ontstaan door natuurlijke groei of door meting. Maar ook een groot bereik is geen garantie, vandaar “meestal”.

De wet geldt niet voor gegevens met een beperkt bereik. De lengte van volwassenen ligt tussen 150 en 200 cm, dus die begint bijna altijd met een één. De wet geldt ook niet voor gegevens met kunstmatige limieten, bijvoorbeeld voor de bedragen die mensen bij een geldautomaat opnemen, die ronde bedragen zijn en een bovengrens hebben. En de wet is helemaal niet van toepassing op identificatienummers en codes, zoals telefoonnummers of burgerservicenummers. Dat zijn geen aantallen of maten, alleen namen die met cijfers zijn opgeschreven.

Hoe fraudeurs ermee worden gepakt

Wie getallen verzint, heeft de neiging alle cijfers een vergelijkbare kans te geven. In verzonnen facturen of boekhoudingen vinden we dan weinig enen vooraan en te veel hogere cijfers. Accountants en belastingdiensten gebruiken de wet daarom als aanwijzing waar ze moeten gaan kijken. In de forensische accountancy is het een gangbaar hulpmiddel.

Een bewijs van fraude is het echter niet. Een bedrijf dat één product voor € 7,90 verkoopt, krijgt veel facturen die met een zeven beginnen als er per stuk wordt gekocht, en toch heeft niemand iets vervalst. Een afwijking zegt alleen dat het de moeite waard is om beter te kijken.

Een studie van Bernhard Rauch en collega's uit 2011 vergeleek met de wet van Benford de macro-economische gegevens die de lidstaten van de Europese Unie in de jaren 1999-2009 vanwege de regels over het tekort aan Eurostat doorgaven. Van de landen in de eurozone week Griekenland het meest van de wet af, het land waarvan in die tijd bleek dat het de gegevens over zijn tekort had vertekend.

Na de Iraanse presidentsverkiezingen in 2009, die Mahmoud Ahmadinejad won, analyseerden statistici de aantallen stemmen. Bij verkiezingen is het eerste cijfer echter niet geschikt, omdat kiesdistricten ongeveer even groot zijn en de aantallen stemmen dus niet genoeg ordes van grootte beslaan. Walter Mebane testte daarom volgens de wet van Benford het tweede cijfer van de uitslagen uit de afzonderlijke stembussen en vond bij drie van de vier kandidaten afwijkingen. Bernd Beber en Alexandra Scacco onderzochten de laatste cijfers van de uitslagen in de provincies. Die zouden gelijkmatig verdeeld moeten zijn, elk in ongeveer 10% van de gevallen, maar er waren 17% zevens en maar 4% vijven. Mebane zelf benadrukte dat zijn analyse manipulatie niet bewijst, maar slechts ondersteunt. Een bewijs van fraude was het in geen van beide gevallen.

Probeer het zelf uit op je eigen gegevens, bijvoorbeeld op een bankafschrift of op de prijzen op een kassabon. En als je geen gegevens bij de hand hebt, neem dan de machten van twee. Van de eerste duizend machten, dus 2¹ tot en met 2¹⁰⁰⁰, beginnen er 301 met een één, en de wet van Benford voorspelt er ook 301. Beter kan het bijna niet kloppen.

Zie ook

• Logaritmen
• Statistiek: de basis
• Verjaardagsparadox