Lei de Benford

Em 1881, o astrônomo americano Simon Newcomb notou uma coisa estranha nas tábuas de logaritmos. As primeiras páginas, nas quais estão os números que começam com o algarismo 1, estavam muito mais manuseadas do que as seguintes. Mas por que as pessoas procurariam números que começam com 1 com mais frequência do que os que começam com 8 ou 9? Newcomb escreveu um breve artigo sobre isso. Ninguém reparou nele.

Passaram-se 57 anos. Em 1938, o físico Frank Benford, da empresa General Electric, notou a mesma coisa de forma independente. E não deixou por isso mesmo. Reuniu mais de 20.000 números de 20 áreas diferentes: áreas de bacias hidrográficas, constantes físicas, mortalidade, números de reportagens de jornal, estatísticas de beisebol… Números que não têm absolutamente nada em comum.

No início de um número podem estar nove algarismos diferentes, de 1 a 9 (o zero no início não costuma aparecer). Esperaríamos, então, que cada um fosse o primeiro com a mesma frequência, em cerca de 11% dos casos. Mas não foi assim. Quando Benford somou tudo, o algarismo 1 estava no início em cerca de 30% dos números. Quanto maior o algarismo, menos frequentemente ele era o primeiro, e com o 9 começavam apenas pouco menos de 5% dos números. Esse fenômeno é hoje chamado de lei de Benford, às vezes também de lei de Newcomb–Benford.

Por que justamente o 1

Imagine um município com 100 habitantes, cuja população aumenta 10% a cada ano. Em anos completos, o município terá, arredondando, 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… habitantes. Para ir de 100 a 200, o número de habitantes precisa crescer 100%, e isso leva 8 anos. Depois de sete anos o município tem 195 habitantes, no oitavo ano já passa de 200.

De 200 a 300 já basta um aumento de 50%, e de 800 a 900 apenas de 12,5%. Quanto maior o primeiro algarismo, mais rápido o município passa por ele. Em todo o caminho de 100 a 1.000 habitantes, que leva 25 anos, o número de habitantes começa com 1 durante 8 anos, com 2 durante 4 anos, com 3 durante 3 anos e com os algarismos seguintes apenas um ou dois anos. Com 9 começa apenas um ano, aquele em que o município tem 985 habitantes, e já no ano seguinte tem mais de mil. Oito anos de 25 são 32%, perto daqueles 30%. Números que crescem sempre na mesma porcentagem passam mais tempo justamente com o 1 no início.

O interessante é que as unidades não importam. Se você converter os comprimentos dos rios de quilômetros para milhas, todos os números mudam. Mas, se os comprimentos dos rios satisfazem a lei de Benford, eles a satisfazem também em milhas. A proporção de números que começam com 1 praticamente não muda.

Com que frequência cada algarismo é o primeiro

A probabilidade de um número começar com o algarismo d é, segundo a lei de Benford,

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

em que log₁₀ é o logaritmo decimal. Vamos tentar primeiro para o 1, isto é, substituir d = 1:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Somamos nos parênteses:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

O 1 começa, portanto, cerca de 30,1% dos números. Os outros algarismos ficam assim:

Juntos dão exatamente 100%, como deve ser. A linha tracejada no gráfico marca $\frac{1}{9}$, isto é, a parte que caberia a cada algarismo se todos fossem igualmente frequentes.

Já que temos a fórmula, podemos dar um passo além. A lei vale também para os dois primeiros algarismos. Basta substituir na mesma fórmula d por números de dois algarismos, de 10 a 99. Os pares 10 e 11 aparecem no início com muito mais frequência do que 98 e 99:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Um número começa com 10 em cerca de 4,1% dos casos e com 11 em 3,8%, enquanto com 98 ou 99 apenas em cerca de 0,44%. E o mesmo vale, por exemplo, para os comprimentos dos rios do mundo.

Quando a lei vale e quando não

A lei de Benford costuma valer para dados que cobrem várias ordens de grandeza, isto é, de dezenas até milhões, e que surgem de crescimento natural ou de medições. Mas nem um grande alcance a garante, por isso “costuma”.

Ela não vale para dados com alcance limitado. A altura dos adultos fica entre 150 e 200 cm, então quase sempre começa com 1. Também não vale para dados com limites artificiais, por exemplo os valores de saques em caixas eletrônicos, que são múltiplos de cem e têm um limite superior. E não se aplica de forma alguma a identificadores e códigos, como números de telefone ou de CPF. Eles não são contagens nem medidas, apenas nomes escritos com algarismos.

Como os fraudadores são pegos

Quem inventa números tende a dar a todos os algarismos uma chance parecida. Em notas fiscais ou em contabilidades inventadas, encontramos poucos 1 no início e algarismos altos em excesso. Por isso, auditores e órgãos de fiscalização usam a lei como indicador de onde olhar. Na contabilidade forense, é uma ferramenta comum.

Mas isso não é prova de fraude. Uma empresa que vende um produto por R$ 790,00 terá muitas notas fiscais começando com 7 quando a compra é de uma unidade só, e ninguém falsificou nada. O desvio apenas diz que vale a pena olhar mais de perto.

Um estudo de Bernhard Rauch e colegas, de 2011, comparou com a lei de Benford os dados macroeconômicos que os Estados da União Europeia reportaram ao Eurostat entre 1999 e 2009 por causa das regras sobre déficit. Entre os países da zona do euro, os dados que mais se desviaram da lei foram os da Grécia, país que, como se descobriu na época, havia distorcido os dados sobre o seu déficit.

Depois da eleição presidencial do Irã de 2009, vencida por Mahmoud Ahmadinejad, estatísticos analisaram as contagens de votos. Em eleições, porém, o primeiro algarismo não serve, porque as seções eleitorais têm tamanhos parecidos e as contagens de votos não cobrem ordens de grandeza suficientes. Por isso, Walter Mebane testou, segundo a lei de Benford, o segundo algarismo dos resultados de cada urna e encontrou desvios em três dos quatro candidatos. Bernd Beber e Alexandra Scacco examinaram os últimos algarismos dos resultados nas províncias. Eles deveriam estar distribuídos de maneira uniforme, cada um em cerca de 10% dos casos, mas os 7 eram 17% e os 5, apenas 4%. O próprio Mebane ressaltava que a sua análise não prova a manipulação, apenas a reforça. Em nenhum dos casos isso foi prova de fraude.

Teste você mesmo com os seus próprios dados, por exemplo com o extrato bancário ou com os preços de um cupom fiscal. E, se você não tem nenhum dado à mão, pegue as potências de dois. Das mil primeiras potências, isto é, de 2¹ até 2¹⁰⁰⁰, 301 começam com 1, e a lei de Benford também prevê 301. Melhor do que isso talvez nem seja possível.

Veja também

• Logaritmos
• Fundamentos de estatística
• Paradoxo do aniversário