Benfords lag

År 1881 märkte den amerikanske astronomen Simon Newcomb något besynnerligt i logaritmtabellerna. De första sidorna, där talen börjar med en etta, var mycket mer slitna än de följande. Men varför skulle folk slå upp tal som börjar med en etta oftare än sådana som börjar med en åtta eller en nia? Newcomb skrev en kort artikel om det. Ingen lade märke till den.

Det gick 57 år. År 1938 märkte fysikern Frank Benford vid företaget General Electric samma sak, oberoende av Newcomb. Och han lät det inte vara. Han samlade över 20 000 tal från 20 olika områden: arean av flodernas avrinningsområden, fysikaliska konstanter, dödlighet, tal från tidningsartiklar, baseballstatistik… Tal som inte har något alls med varandra att göra.

I början av ett tal kan nio olika siffror stå, från 1 till 9 (en nolla i början förekommer inte). Vi skulle alltså vänta oss att varje siffra står först lika ofta, i ungefär 11 % av fallen. Men så var det inte. När Benford hade räknat ihop allt stod ettan först i ungefär 30 % av talen. Ju högre siffra, desto ovanligare var det att den stod först, och med nian började bara knappt 5 % av talen. Det här fenomenet kallas i dag Benfords lag, ibland också Newcomb–Benfords lag.

Varför just ettan

Tänk dig en ort med 100 invånare där antalet ökar med 10 % varje år. Efter varje helt år har orten, avrundat, 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… invånare. För att komma från 100 till 200 måste antalet invånare öka med 100 %, och det tar 8 år. Efter sju år har orten 195 invånare, och under det åttonde året över 200.

Från 200 till 300 räcker en ökning med 50 %, och från 800 till 900 bara 12,5 %. Ju högre den första siffran är, desto snabbare passerar orten den. På hela vägen från 100 till 1000 invånare, som tar 25 år, börjar invånarantalet med en etta i 8 år, med en tvåa i 4 år, med en trea i 3 år och med de övriga siffrorna bara ett eller två år. Med en nia börjar det bara under ett enda år, när orten har 985 invånare, och året därpå har den över tusen. Åtta år av 25 är 32 %, nära de där 30 %. Tal som växer med samma procent tillbringar mest tid just med en etta först.

Det intressanta är att enheterna inte spelar någon roll. Om du räknar om flodernas längder från kilometer till engelska mil ändras alla tal. Men om flodernas längder följer Benfords lag, följer de den också i engelska mil. Andelen ettor ändras i stort sett inte.

Hur ofta är varje siffra först

Sannolikheten att ett tal börjar med siffran d är enligt Benfords lag

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

där log₁₀ är tiologaritmen. Vi prövar först för ettan, det vill säga sätter in d = 1:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Vi räknar ihop inom parentesen:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

Ettan inleder alltså ungefär 30,1 % av talen. De andra siffrorna blir så här:

Tillsammans blir det exakt 100 %, som det ska. Den streckade linjen i diagrammet markerar $\frac{1}{9}$, alltså den andel som skulle tillfalla varje siffra om alla vore lika vanliga.

Nu när vi har formeln kan vi gå ett steg längre. Lagen gäller också för de två första siffrorna. Vi behöver bara sätta in de tvåsiffriga talen från 10 till 99 för d i samma formel. Talen börjar alltså betydligt oftare med 10 och 11 än med 98 och 99:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Ett tal börjar med 10 i ungefär 4,1 % av fallen och med 11 i 3,8 %, medan 98 eller 99 bara i ungefär 0,44 %. Och detsamma gäller till exempel för världens flodlängder.

När lagen gäller och när inte

Benfords lag gäller för det mesta för data som täcker flera tiopotenser, alltså från tiotal upp till miljoner, och som uppstår genom naturlig tillväxt eller mätning. Inte ens ett stort omfång garanterar den dock, därför ”för det mesta”.

Den gäller inte för data med begränsat omfång. Vuxnas längd ligger mellan 150 och 200 cm, så den börjar nästan alltid med en etta. Den gäller inte heller för data med konstgjorda gränser, till exempel belopp vid uttag från bankomat, som är multiplar av hundra och har en övre gräns. Och den gäller inte alls för identifikationsnummer och koder, som telefonnummer eller personnummer. De är varken antal eller mått, bara namn skrivna med siffror.

Hur lagen fäller bedragare

Den som hittar på tal tenderar att ge alla siffror ungefär samma chans. I påhittade fakturor eller räkenskaper hittar vi då för få ettor först och för många högre siffror. Revisorer och skattemyndigheter använder därför lagen som en vägvisare för var de ska titta. Inom forensisk redovisning är det ett vanligt verktyg.

Bevis för bedrägeri är det dock inte. Ett företag som säljer en enda produkt för 790 kr får massor av fakturor som börjar med en sjua när kunderna köper en i taget, och ändå har ingen förfalskat något. Avvikelsen säger bara att det är värt att titta närmare.

En studie av Bernhard Rauch och kollegor från 2011 jämförde med Benfords lag de makroekonomiska data som Europeiska unionens stater åren 1999–2009 rapporterade till Eurostat på grund av reglerna om underskott. Av länderna i euroområdet avvek Greklands data mest från lagen, alltså det land som vid den tiden visade sig ha förvanskat uppgifterna om sitt underskott.

Efter det iranska presidentvalet 2009, som Mahmoud Ahmadinejad vann, analyserade statistiker rösträkningen. Vid val passar den första siffran dock dåligt, eftersom valdistrikten har liknande storlek och antalet röster därför inte täcker tillräckligt många tiopotenser. Walter Mebane testade därför den andra siffran i resultaten från de enskilda valurnorna enligt Benfords lag och hittade avvikelser för tre av fyra kandidater. Bernd Beber och Alexandra Scacco undersökte de sista siffrorna i resultaten från provinserna. De borde vara jämnt fördelade, var och en i ungefär 10 % av fallen, men det fanns 17 % sjuor och bara 4 % femmor. Mebane själv betonade att hans analys inte bevisar manipulation, bara stöder den. Bevis för bedrägeri var det inte i något av fallen.

Prova själv på dina egna data, till exempel på kontoutdraget eller på priserna på kvittot. Och om du inte har några data till hands, ta tvåpotenserna. Av de första tusen potenserna, alltså 2¹ till 2¹⁰⁰⁰, börjar 301 med en etta, och Benfords lag förutsäger också 301. Bättre kan det knappast stämma.

Se även

• Logaritmer
• Grunderna i statistik
• Födelsedagsparadoxen