Benfordin laki

Vuonna 1881 yhdysvaltalainen tähtitieteilijä Simon Newcomb huomasi logaritmitaulukoista jotain outoa. Ensimmäiset sivut, joilla ovat ykkösellä alkavat luvut, olivat paljon kuluneempia kuin seuraavat. Mutta miksi ihmiset etsisivät ykkösellä alkavia lukuja useammin kuin luvut, jotka alkavat kahdeksikolla tai yhdeksiköllä? Newcomb kirjoitti asiasta lyhyen artikkelin. Kukaan ei huomannut sitä.

Kului 57 vuotta. Vuonna 1938 fyysikko Frank Benford General Electric -yhtiöstä huomasi saman itsenäisesti. Eikä hän jättänyt asiaa sikseen. Hän keräsi yli 20 000 lukua 20 eri alalta: jokien valuma-alueiden pinta-aloja, fysikaalisia vakioita, kuolleisuutta, sanomalehtiartikkelien lukuja, baseball-tilastoja… Lukuja, joilla ei ole keskenään mitään tekemistä.

Luvun alussa voi olla yhdeksän eri numeroa, 1:stä 9:ään (nolla ei yleensä ole alussa). Odottaisimme siis, että jokainen on ensimmäisenä yhtä usein, noin 11 %:ssa tapauksista. Mutta niin ei ollut. Kun Benford laski kaiken yhteen, ykkönen oli alussa noin 30 %:ssa luvuista. Mitä suurempi numero, sitä harvemmin se oli ensimmäinen, ja yhdeksiköllä alkoi vain vajaa 5 % luvuista. Tätä ilmiötä kutsutaan nykyään Benfordin laiksi, joskus myös Newcombin–Benfordin laiksi.

Miksi juuri ykkönen

Kuvittele kunta, jossa on 100 asukasta ja jonka asukasluku kasvaa joka vuosi 10 %. Täysien vuosien jälkeen kunnassa on pyöristettynä 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… asukasta. Päästäkseen 100:sta 200:aan asukasluvun on kasvettava 100 %, ja siihen menee 8 vuotta. Seitsemän vuoden jälkeen kunnassa on 195 asukasta, kahdeksantena vuonna jo yli 200.

200:sta 300:aan riittää jo 50 %:n kasvu ja 800:sta 900:aan vain 12,5 %:n. Mitä suurempi on ensimmäinen numero, sitä nopeammin kunta ohittaa sen. Koko matkalla 100:sta 1 000 asukkaaseen, joka kestää 25 vuotta, asukasluku alkaa ykkösellä 8 vuotta, kakkosella 4 vuotta, kolmosella 3 vuotta ja muilla numeroilla enää vuoden tai kaksi. Yhdeksiköllä alkaa vain yksi vuosi, jolloin kunnassa on 985 asukasta, ja jo seuraavana vuonna heitä on yli tuhat. Kahdeksan vuotta 25:stä on 32 %, lähellä noita 30 %:a. Luvut, jotka kasvavat joka vuosi samalla prosentilla, viettävät eniten aikaa juuri ykkösellä alkavina.

Mielenkiintoista on, ettei yksiköillä ole väliä. Jos muunnat jokien pituudet kilometreistä maileiksi, kaikki luvut muuttuvat. Mutta jos jokien pituudet noudattavat Benfordin lakia, ne noudattavat sitä myös maileina. Ykkösten osuus ei suurin piirtein muutu.

Kuinka usein mikäkin numero on ensimmäinen

Todennäköisyys, että luku alkaa numerolla d, on Benfordin lain mukaan

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

missä log₁₀ on kymmenkantainen logaritmi. Kokeillaan ensin ykköselle eli sijoitetaan d = 1:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Lasketaan sulkeiden sisällä:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

Ykkösellä alkaa siis noin 30,1 % luvuista. Muut numerot menevät seuraavasti:

Yhteensä se on täsmälleen 100 %, kuten kuuluukin. Kuvaajan katkoviiva osoittaa arvon $\frac{1}{9}$ eli osuuden, joka tulisi jokaiselle numerolle, jos kaikki olisivat yhtä yleisiä.

Kun kaava on jo käsillä, voimme mennä askeleen pidemmälle. Laki pätee myös kahdelle ensimmäiselle numerolle. Riittää sijoittaa samaan kaavaan d:n tilalle kaksinumeroinen luku 10:stä 99:ään. Parit 10 ja 11 ovat alussa paljon useammin kuin 98 ja 99:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Luku alkaa kaksinumeroisella luvulla 10 noin 4,1 %:ssa tapauksista ja luvulla 11 3,8 %:ssa, kun taas 98 tai 99 vain noin 0,44 %:ssa. Ja sama pätee vaikkapa maailman jokien pituuksiin.

Milloin laki pätee ja milloin ei

Benfordin laki pätee yleensä aineistoihin, jotka kattavat useita suuruusluokkia eli kymmenistä miljooniin ja jotka syntyvät luonnollisen kasvun tai mittaamisen tuloksena. Suurikaan vaihteluväli ei kuitenkaan takaa sitä, siksi ”yleensä”.

Se ei päde aineistoihin, joiden vaihteluväli on rajoitettu. Aikuisten pituus on 150 ja 200 cm:n välillä, joten se alkaa melkein aina ykkösellä. Se ei päde myöskään aineistoihin, joissa on keinotekoisia rajoja, esimerkiksi pankkiautomaattinostojen summiin, jotka ovat satojen monikertoja ja joilla on yläraja. Eikä se päde lainkaan tunnisteisiin ja koodeihin, kuten puhelinnumeroihin tai henkilötunnuksiin. Ne eivät ole lukumääriä eivätkä mittoja, vain numeroin kirjoitettuja nimiä.

Miten sillä jäädään kiinni petoksista

Joka keksii lukuja, taipuu antamaan kaikille numeroille samanlaisen mahdollisuuden. Keksityissä laskuissa tai kirjanpidossa ykkösiä alussa on silloin vähän ja suurempia numeroita liikaa. Tilintarkastajat ja verottajat käyttävät siksi lakia osoittimena, mihin kannattaa katsoa. Talousrikosten selvittämisessä (forensic accounting) se on yleinen työkalu.

Todiste petoksesta se ei kuitenkaan ole. Yritys, joka myy yhtä tuotetta hintaan 79 euroa, saa paljon seitsemällä alkavia laskuja, kun tuotetta ostetaan yksi kerrallaan, eikä kukaan ole silti väärentänyt mitään. Poikkeama kertoo vain, että kannattaa katsoa tarkemmin.

Bernhard Rauchin ja kollegoiden vuoden 2011 tutkimus vertasi Benfordin lakiin makrotaloudellisia tietoja, jotka Euroopan unionin jäsenvaltiot ilmoittivat Eurostatille vuosina 1999–2009 alijäämäsääntöjen takia. Euroalueen maista laista poikkesivat eniten Kreikan tiedot, siis maan, jonka paljastui tuolloin vääristelleen alijäämätietojaan.

Iranin vuoden 2009 presidentinvaalien jälkeen, jotka voitti Mahmud Ahmadinejad, tilastotieteilijät analysoivat äänimääriä. Vaaleissa ensimmäinen numero ei kuitenkaan sovellu, koska äänestysalueet ovat suunnilleen samankokoisia eivätkä äänimäärät siten kata riittävästi suuruusluokkia. Walter Mebane testasi siksi Benfordin lain mukaan yksittäisten vaaliuurnien tulosten toista numeroa ja löysi poikkeamia kolmen neljästä ehdokkaasta kohdalla. Bernd Beber ja Alexandra Scacco tutkivat maakuntien tulosten viimeisiä numeroita. Niiden pitäisi olla jakautuneet tasaisesti, kukin noin 10 %:ssa tapauksista, mutta seitsemiä oli 17 % ja viitosia vain 4 %. Mebane itse korosti, ettei hänen analyysinsa todista manipulointia, vaan tukee sitä. Todiste petoksesta se ei ollut kummassakaan tapauksessa.

Kokeile itse omilla tiedoillasi, vaikkapa tiliotteella tai kuitin hinnoilla. Ja jos sinulla ei ole dataa käsillä, ota kakkosen potenssit. Ensimmäisestä tuhannesta potenssista eli luvuista 2¹–2¹⁰⁰⁰ ykkösellä alkaa 301, ja Benfordin laki ennustaa myös 301. Tuskin se voisi täsmätä paremmin.

Katso myös

• Logaritmit
• Tilastotieteen perusteet
• Syntymäpäiväparadoksi