Prawo Benforda

W 1881 roku amerykański astronom Simon Newcomb zauważył coś dziwnego w tablicach logarytmicznych. Pierwsze strony, na których są liczby zaczynające się od jedynki, były dużo bardziej zaczytane niż kolejne. Dlaczego jednak ludzie mieliby szukać liczb zaczynających się od jedynki częściej niż tych, które zaczynają się od ósemki albo dziewiątki? Newcomb napisał o tym krótki artykuł. Nikt go nie zauważył.

Minęło 57 lat. W 1938 roku to samo niezależnie zauważył fizyk Frank Benford z firmy General Electric. I nie odpuścił. Zebrał ponad 20 000 liczb z 20 różnych dziedzin: powierzchnie dorzeczy rzek, stałe fizyczne, umieralność, liczby z artykułów prasowych, statystyki baseballowe… Liczby, które nie mają ze sobą nic wspólnego.

Na początku liczby może stać dziewięć różnych cyfr, od 1 do 9 (zero na początku zwykle nie stoi). Spodziewalibyśmy się więc, że każda będzie pierwsza równie często, mniej więcej w 11% przypadków. Tyle że tak nie było. Kiedy Benford to wszystko zsumował, okazało się, że jedynka stała na początku około 30% liczb. Im wyższa cyfra, tym rzadziej była pierwsza, a dziewiątką zaczynało się niecałe 5% liczb. To zjawisko nazywa się dziś prawem Benforda, czasem także prawem Newcomba–Benforda.

Dlaczego akurat jedynka

Wyobraź sobie wieś, w której mieszka 100 osób, a ich liczba co roku rośnie o 10%. Po pełnych latach wieś będzie miała w zaokrągleniu 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… mieszkańców. Żeby z 100 dojść do 200, liczba mieszkańców musi wzrosnąć o 100%, a to trwa 8 lat. Po siedmiu latach wieś ma 195 mieszkańców, a w ósmym roku już ponad 200.

Z 200 do 300 wystarczy już wzrost o 50%, a z 800 do 900 tylko o 12,5%. Im wyższa pierwsza cyfra, tym szybciej wieś ją przeskakuje. Na całej drodze od 100 do 1000 mieszkańców, która trwa 25 lat, liczba mieszkańców zaczyna się od jedynki przez 8 lat, od dwójki przez 4 lata, od trójki przez 3 lata, a od kolejnych cyfr już tylko przez rok lub dwa. Od dziewiątki zaczyna się tylko przez jeden rok, kiedy wieś ma 985 mieszkańców, a rok później jest ich już ponad tysiąc. Osiem lat z 25 to 32%, blisko tych 30%. Liczby, które rosną o tyle samo procent, spędzają najwięcej czasu właśnie z jedynką na początku.

Ciekawe jest to, że jednostki nie mają znaczenia. Jeśli przeliczysz długości rzek z kilometrów na mile, zmienią się wszystkie liczby. Jeżeli jednak długości rzek spełniają prawo Benforda, spełniają je również w milach. Udział jedynek z grubsza się nie zmieni.

Jak często każda cyfra jest pierwsza

Prawdopodobieństwo, że liczba zaczyna się cyfrą d, wynosi według prawa Benforda

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

gdzie log₁₀ to logarytm dziesiętny. Sprawdźmy to najpierw dla jedynki, czyli podstawmy d = 1:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Dodajemy w nawiasie:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

Jedynką zaczyna się więc około 30,1% liczb. Pozostałe cyfry wypadają tak:

Razem daje to dokładnie 100%, tak jak powinno. Linia przerywana na wykresie oznacza $\frac{1}{9}$, czyli udział, jaki przypadłby każdej cyfrze, gdyby wszystkie były jednakowo częste.

Skoro mamy już wzór, możemy pójść o krok dalej. Prawo działa także dla dwóch pierwszych cyfr. Wystarczy do tego samego wzoru podstawić za d liczbę dwucyfrową od 10 do 99. Pary 10 i 11 stoją więc na początku dużo częściej niż 98 i 99:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Liczba zaczyna się od 10 w około 4,1% przypadków, a od 11 w 3,8%, podczas gdy od 98 albo 99 tylko w około 0,44%. To samo dotyczy na przykład długości rzek świata.

Kiedy prawo działa, a kiedy nie

Prawo Benforda zwykle działa dla danych, które obejmują kilka rzędów wielkości, czyli od dziesiątek aż po miliony, i powstają przez naturalny wzrost lub pomiar. Ale nawet duży zakres tego nie gwarantuje, dlatego „zwykle”.

Nie działa dla danych o ograniczonym zakresie. Wzrost dorosłych mieści się między 150 a 200 cm, więc prawie zawsze zaczyna się od jedynki. Nie działa też dla danych ze sztucznymi limitami, na przykład dla kwot wypłat z bankomatu, które są wielokrotnościami setek i mają górny limit. I wcale nie dotyczy identyfikatorów i kodów, takich jak numery telefonów czy numery PESEL. To nie są ani liczności, ani miary, tylko nazwy zapisane cyframi.

Jak to łapie oszustów

Kto wymyśla liczby, ten ma skłonność, by dać wszystkim cyfrom podobną szansę. W zmyślonych fakturach czy księgowości jedynek na początku znajdziemy wtedy mało, a wyższych cyfr za dużo. Audytorzy i urzędy skarbowe używają więc tego prawa jako wskazówki, gdzie warto się przyjrzeć. W rachunkowości śledczej to powszechne narzędzie.

Dowodem oszustwa to jednak nie jest. Firma, która sprzedaje jeden produkt za 790 zł, będzie miała mnóstwo faktur zaczynających się od siódemki, jeśli kupuje się po jednej sztuce, a mimo to nikt niczego nie sfałszował. Odchylenie mówi tylko, że warto przyjrzeć się bliżej.

Badanie Bernharda Raucha i współpracowników z 2011 roku porównało z prawem Benforda dane makroekonomiczne, które państwa Unii Europejskiej w latach 1999–2009 zgłaszały Eurostatowi w związku z zasadami dotyczącymi deficytu. Spośród krajów strefy euro od prawa najbardziej odbiegały dane Grecji, czyli kraju, o którym w tamtym czasie wyszło na jaw, że zniekształcał dane o swoim deficycie.

Po irańskich wyborach prezydenckich w 2009 roku, które wygrał Mahmud Ahmadineżad, statystycy przeanalizowali liczby głosów. W wyborach pierwsza cyfra się jednak nie nadaje, bo obwody wyborcze mają podobną wielkość, więc liczby głosów nie obejmują dość rzędów wielkości. Walter Mebane testował więc według prawa Benforda drugą cyfrę wyników z poszczególnych urn wyborczych i u trzech z czterech kandydatów znalazł odchylenia. Bernd Beber i Alexandra Scacco badali ostatnie cyfry wyników w prowincjach. Powinny być rozłożone równomiernie, każda w około 10% przypadków, tymczasem siódemek było 17%, a piątek tylko 4%. Sam Mebane podkreślał, że jego analiza manipulacji nie dowodzi, a tylko ją wspiera. Dowodem oszustwa nie było to w żadnym z tych przypadków.

Wypróbuj to sam na własnych danych, na przykład na wyciągu z konta albo na cenach z paragonu. A jeśli nie masz pod ręką żadnych danych, weź potęgi dwójki. Z pierwszego tysiąca potęg, czyli od 2¹ do 2¹⁰⁰⁰, jedynką zaczyna się 301, a prawo Benforda przewiduje również 301. Lepiej to chyba nie może się zgadzać.

Zobacz też

• Funkcja logarytmiczna
• Podstawy statystyki
• Paradoks dnia urodzin