Ley de Benford

En 1881, el astrónomo estadounidense Simon Newcomb se fijó en algo extraño en las tablas de logaritmos. Las primeras páginas, las de los números que empiezan por 1, estaban mucho más manoseadas que las siguientes. Pero ¿por qué iba la gente a buscar los números que empiezan por 1 más a menudo que los que empiezan por 8 o por 9? Newcomb escribió un breve artículo sobre ello. Nadie lo notó.

Pasaron 57 años. En 1938, el físico Frank Benford, de la empresa General Electric, observó lo mismo por su cuenta. Y no lo dejó pasar. Reunió más de 20.000 números de 20 ámbitos distintos: superficies de cuencas fluviales, constantes físicas, tasas de mortalidad, números sacados de artículos de periódico, estadísticas de béisbol… Números que no tienen absolutamente nada en común.

Al principio de un número puede haber nueve cifras distintas, del 1 al 9 (el 0 no suele ir al comienzo). Esperaríamos, por tanto, que cada una fuera la primera con la misma frecuencia, en torno al 11 % de los casos. Pero no fue así. Cuando Benford lo sumó todo, el 1 aparecía al principio en cerca del 30 % de los números. Cuanto mayor era la cifra, menos a menudo era la primera, y con el 9 empezaban apenas menos del 5 % de los números. Este fenómeno se llama hoy ley de Benford, y a veces también ley de Newcomb–Benford.

Por qué precisamente el 1

Imagina un pueblo de 100 habitantes cuyo número crece un 10 % cada año. Al cabo de cada año completo, el pueblo tendrá, redondeando, 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… habitantes. Para pasar de 100 a 200, el número de habitantes tiene que aumentar un 100 %, y eso lleva 8 años. A los siete años el pueblo tiene 195 habitantes, y en el octavo ya pasa de 200.

De 200 a 300 basta un aumento del 50 %, y de 800 a 900 solo del 12,5 %. Cuanto mayor es la primera cifra, más rápido la deja atrás el pueblo. En todo el camino de 100 a 1000 habitantes, que dura 25 años, el número de habitantes empieza por 1 durante 8 años, por 2 durante 4 años, por 3 durante 3 años y con las demás cifras solo uno o dos años. Con el 9 empieza solo un año, cuando el pueblo tiene 985 habitantes, y al año siguiente ya pasa de mil. Ocho años de 25 son un 32 %, cerca de ese 30 %. Los números que crecen en un mismo porcentaje pasan la mayor parte del tiempo precisamente con un 1 al principio.

Lo curioso es que las unidades no importan. Si pasas las longitudes de los ríos de kilómetros a millas, todos los números cambian. Pero si las longitudes de los ríos cumplen la ley de Benford, también la cumplen en millas. La proporción de unos se mantiene más o menos igual.

Con qué frecuencia es primera cada cifra

La probabilidad de que un número empiece por la cifra d es, según la ley de Benford,

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

donde log₁₀ es el logaritmo decimal. Probemos primero con el 1, es decir, sustituyamos d = 1:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Sumamos dentro del paréntesis:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

Así, el 1 abre en torno al 30,1 % de los números. Las demás cifras quedan así:

En total suman exactamente el 100 %, como debe ser. La línea discontinua del gráfico marca $\frac{1}{9}$, es decir, la proporción que correspondería a cada cifra si todas fueran igual de frecuentes.

Ya que tenemos la fórmula, podemos ir un paso más allá. La ley también vale para las dos primeras cifras. Basta sustituir en la misma fórmula d por un número de dos cifras, del 10 al 99. Así, el par 10 y el par 11 están al principio mucho más a menudo que el 98 y el 99:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Un número empieza por 10 en cerca del 4,1 % de los casos y por 11 en el 3,8 %, mientras que por 98 o 99 solo en cerca del 0,44 %. Y lo mismo ocurre, por ejemplo, con las longitudes de los ríos del mundo.

Cuándo se cumple la ley y cuándo no

La ley de Benford suele cumplirse en los datos que abarcan varios órdenes de magnitud, es decir, desde las decenas hasta los millones, y que surgen del crecimiento natural o de mediciones. Pero ni siquiera un gran rango lo garantiza, y por eso decimos «suele cumplirse».

No se cumple en los datos de rango limitado. La estatura de los adultos está entre 150 y 200 cm, así que empieza casi siempre por 1. Tampoco se cumple en los datos con límites artificiales, como los importes de las retiradas de efectivo de un cajero, que son múltiplos de cien y tienen un máximo. Y no se aplica en absoluto a los identificadores y códigos, como los números de teléfono o del DNI. Esos no son recuentos ni medidas, solo nombres escritos con cifras.

Cómo se pilla a los tramposos

Quien se inventa los números tiende a dar a todas las cifras una probabilidad parecida. En unas facturas o una contabilidad inventadas encontraremos entonces pocos 1 al principio y demasiadas cifras altas. Por eso los auditores y las agencias tributarias usan la ley como indicador de dónde mirar. En la contabilidad forense es una herramienta habitual.

Pero no es una prueba de fraude. Una empresa que vende un producto por 790 € tendrá un montón de facturas que empiezan por 7 cuando se compra de uno en uno, y sin embargo nadie ha falsificado nada. La desviación solo dice que merece la pena mirar con más atención.

Un estudio de Bernhard Rauch y sus colegas de 2011 comparó con la ley de Benford los datos macroeconómicos que los Estados de la Unión Europea comunicaron a Eurostat entre 1999 y 2009 por las normas sobre el déficit. De los países de la eurozona, los datos que más se desviaban de la ley eran los de Grecia, es decir, de un país del que por entonces se descubrió que había falseado los datos de su déficit.

Tras las elecciones presidenciales de Irán de 2009, que ganó Mahmud Ahmadineyad, los estadísticos analizaron los recuentos de votos. En unas elecciones, sin embargo, la primera cifra no sirve, porque los colegios electorales tienen un tamaño parecido y los recuentos de votos no abarcan suficientes órdenes de magnitud. Por eso Walter Mebane aplicó la ley de Benford a la segunda cifra de los resultados de cada urna y encontró desviaciones en tres de los cuatro candidatos. Bernd Beber y Alexandra Scacco examinaron las últimas cifras de los resultados de las provincias. Estas deberían estar repartidas por igual, cada una en torno al 10 % de los casos, pero había un 17 % de sietes y solo un 4 % de cincos. El propio Mebane subrayó que su análisis no demuestra la manipulación, solo la respalda. Que hubo fraude no quedó probado en ninguno de los dos casos.

Compruébalo tú mismo con tus propios datos, por ejemplo con el extracto de tu cuenta o con los precios de un ticket de compra. Y si no tienes datos a mano, toma las potencias de 2. De las primeras mil potencias, es decir, de 2¹ a 2¹⁰⁰⁰, empiezan por 1 un total de 301, y la ley de Benford predice también 301. Más exacto no puede ser.

Véase también

• Función logarítmica
• Fundamentos de estadística
• Paradoja del cumpleaños