Νόμος του Benford

Το 1881 ο Αμερικανός αστρονόμος Simon Newcomb πρόσεξε κάτι παράξενο στους πίνακες λογαρίθμων. Οι πρώτες σελίδες, όπου βρίσκονται οι αριθμοί που αρχίζουν με το 1, ήταν πολύ πιο φθαρμένες από τις επόμενες. Γιατί όμως να ψάχνουν οι άνθρωποι πιο συχνά αριθμούς που αρχίζουν με το 1 παρά αριθμούς που αρχίζουν με το 8 ή το 9; Ο Newcomb έγραψε γι' αυτό ένα σύντομο άρθρο. Κανείς δεν το πρόσεξε.

Πέρασαν 57 χρόνια. Το 1938 το ίδιο πρόσεξε ανεξάρτητα ο φυσικός Frank Benford της εταιρείας General Electric. Και δεν το άφησε έτσι. Συγκέντρωσε πάνω από 20.000 αριθμούς από 20 διαφορετικούς τομείς: εκτάσεις λεκανών απορροής ποταμών, φυσικές σταθερές, θνησιμότητα, αριθμούς από άρθρα εφημερίδων, στατιστικά του μπέιζμπολ… Αριθμούς που δεν έχουν καμία σχέση μεταξύ τους.

Στην αρχή ενός αριθμού μπορεί να βρίσκονται εννέα διαφορετικά ψηφία, από το 1 ως το 9 (το μηδέν στην αρχή συνήθως δεν μπαίνει). Θα περιμέναμε λοιπόν να είναι το καθένα πρώτο το ίδιο συχνά, περίπου στο 11% των περιπτώσεων. Δεν ήταν όμως. Όταν ο Benford τα μέτρησε όλα, το 1 βρισκόταν στην αρχή περίπου στο 30% των αριθμών. Όσο μεγαλύτερο το ψηφίο, τόσο πιο σπάνια ήταν πρώτο, και με το 9 άρχιζε μόλις λίγο λιγότερο από το 5% των αριθμών. Αυτό το φαινόμενο λέγεται σήμερα νόμος του Benford, μερικές φορές και νόμος των Newcomb–Benford.

Γιατί ακριβώς το 1

Φαντάσου ένα χωριό με 100 κατοίκους, ο πληθυσμός του οποίου αυξάνεται κάθε χρόνο κατά 10%. Μετά από ακέραιο αριθμό ετών το χωριό θα έχει, με στρογγυλοποίηση, 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… κατοίκους. Για να φτάσει από το 100 στο 200, ο πληθυσμός πρέπει να αυξηθεί κατά 100%, και αυτό διαρκεί 8 χρόνια. Μετά από επτά χρόνια το χωριό έχει 195 κατοίκους, τον όγδοο χρόνο ήδη πάνω από 200.

Από το 200 στο 300 αρκεί πια αύξηση κατά 50% και από το 800 στο 900 μόλις κατά 12,5%. Όσο μεγαλύτερο είναι το πρώτο ψηφίο, τόσο πιο γρήγορα το ξεπερνά το χωριό. Σε ολόκληρη τη διαδρομή από τους 100 στους 1000 κατοίκους, που διαρκεί 25 χρόνια, ο πληθυσμός αρχίζει με το 1 για 8 χρόνια, με το 2 για 4 χρόνια, με το 3 για 3 χρόνια και με τα υπόλοιπα ψηφία μόνο για ένα ή δύο χρόνια. Με το 9 αρχίζει μόνο ένας χρόνος, όταν το χωριό έχει 985 κατοίκους, και την επόμενη χρονιά έχει ήδη πάνω από χίλιους. Τα οκτώ χρόνια στα 25 είναι 32%, κοντά σε εκείνο το 30%. Οι αριθμοί που αυξάνονται κατά το ίδιο ποσοστό περνούν τον περισσότερο χρόνο ακριβώς με το 1 στην αρχή.

Ενδιαφέρον είναι ότι οι μονάδες δεν παίζουν ρόλο. Αν μετατρέψεις τα μήκη των ποταμών από χιλιόμετρα σε μίλια, αλλάζουν όλοι οι αριθμοί. Αν όμως τα μήκη των ποταμών ικανοποιούν το νόμο του Benford, τον ικανοποιούν και σε μίλια. Το ποσοστό των αριθμών που αρχίζουν με 1 μένει περίπου το ίδιο.

Πόσο συχνά είναι πρώτο κάθε ψηφίο

Η πιθανότητα ένας αριθμός να αρχίζει με το ψηφίο d είναι σύμφωνα με το νόμο του Benford

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

όπου log₁₀ είναι ο δεκαδικός λογάριθμος. Ας το δοκιμάσουμε πρώτα για το 1, δηλαδή ας βάλουμε d = 1:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Προσθέτουμε μέσα στην παρένθεση:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

Με το 1 αρχίζει έτσι περίπου το 30,1% των αριθμών. Τα υπόλοιπα ψηφία βγαίνουν ως εξής:

Μαζί κάνουν ακριβώς 100%, όπως πρέπει. Η διακεκομμένη γραμμή στο γράφημα δείχνει το $\frac{1}{9}$, δηλαδή το ποσοστό που θα αντιστοιχούσε σε κάθε ψηφίο, αν όλα ήταν εξίσου συχνά.

Τώρα που έχουμε τον τύπο, μπορούμε να πάμε ένα βήμα παρακάτω. Ο νόμος ισχύει και για τα δύο πρώτα ψηφία. Αρκεί να βάλουμε στον ίδιο τύπο στη θέση του d διψήφιους αριθμούς από το 10 ως το 99. Τα ζεύγη 10 και 11 βρίσκονται έτσι στην αρχή πολύ πιο συχνά από τα 98 και 99:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Ένας αριθμός αρχίζει με το διψήφιο 10 περίπου στο 4,1% των περιπτώσεων και με το 11 στο 3,8%, ενώ με το 98 ή το 99 μόνο περίπου στο 0,44%. Και το ίδιο ισχύει για παράδειγμα για τα μήκη των ποταμών του κόσμου.

Πότε ισχύει ο νόμος και πότε όχι

Ο νόμος του Benford ισχύει συνήθως για δεδομένα που καλύπτουν αρκετές τάξεις μεγέθους, δηλαδή από δεκάδες ως εκατομμύρια, και προκύπτουν από φυσική αύξηση ή από μέτρηση. Ούτε το μεγάλο εύρος όμως τον εγγυάται, εξ ου και το «συνήθως».

Δεν ισχύει για δεδομένα με περιορισμένο εύρος. Το ύψος των ενηλίκων κυμαίνεται μεταξύ 150 και 200 cm, άρα αρχίζει σχεδόν πάντα με το 1. Δεν ισχύει ούτε για δεδομένα με τεχνητά όρια, για παράδειγμα για τα ποσά αναλήψεων από ATM, που είναι πολλαπλάσια του εκατό και έχουν ανώτατο όριο. Και δεν αφορά καθόλου τους αναγνωριστικούς αριθμούς και τους κωδικούς, όπως είναι οι τηλεφωνικοί αριθμοί ή ο ΑΜΚΑ. Αυτοί δεν είναι πλήθη ούτε μέτρα, μόνο ονόματα γραμμένα με ψηφία.

Πώς πιάνονται οι απατεώνες

Όποιος επινοεί αριθμούς, έχει την τάση να δίνει σε όλα τα ψηφία παρόμοιες πιθανότητες. Σε πλαστά τιμολόγια ή λογιστικά βιβλία θα βρούμε λοιπόν λίγα 1 στην αρχή και πάρα πολλά μεγαλύτερα ψηφία. Οι ελεγκτές και οι εφορίες χρησιμοποιούν γι' αυτό το νόμο ως ένδειξη για το πού να κοιτάξουν. Στη διερευνητική λογιστική είναι συνηθισμένο εργαλείο.

Απόδειξη απάτης όμως δεν είναι. Μια εταιρεία που πουλά ένα προϊόν προς 790 € θα έχει πολλά τιμολόγια που αρχίζουν με το 7, όταν οι πελάτες αγοράζουν ένα κομμάτι τη φορά, και παρ' όλα αυτά κανείς δεν έχει πλαστογραφήσει τίποτα. Η απόκλιση λέει μόνο ότι αξίζει να κοιτάξουμε πιο προσεκτικά.

Μια μελέτη του Bernhard Rauch και των συνεργατών του από το 2011 συνέκρινε με το νόμο του Benford τα μακροοικονομικά δεδομένα που τα κράτη της Ευρωπαϊκής Ένωσης δήλωναν στην Eurostat το διάστημα 1999–2009 λόγω των κανόνων για το έλλειμμα. Από τις χώρες της ευρωζώνης απέκλιναν περισσότερο από το νόμο τα δεδομένα της Ελλάδας, δηλαδή της χώρας για την οποία αποκαλύφθηκε εκείνη την εποχή ότι παραποιούσε τα στοιχεία για το έλλειμμά της.

Μετά τις προεδρικές εκλογές του 2009 στο Ιράν, που τις κέρδισε ο Μαχμούντ Αχμαντινετζάντ, οι στατιστικολόγοι ανέλυσαν τους αριθμούς των ψήφων. Στις εκλογές όμως το πρώτο ψηφίο δεν ενδείκνυται, επειδή τα εκλογικά τμήματα έχουν παρόμοιο μέγεθος και έτσι οι αριθμοί των ψήφων δεν καλύπτουν αρκετές τάξεις μεγέθους. Ο Walter Mebane δοκίμασε γι' αυτό σύμφωνα με το νόμο του Benford το δεύτερο ψηφίο των αποτελεσμάτων από τις επιμέρους κάλπες και σε τρεις από τους τέσσερις υποψήφιους βρήκε αποκλίσεις. Ο Bernd Beber και η Alexandra Scacco μελέτησαν τα τελευταία ψηφία των αποτελεσμάτων στις επαρχίες. Αυτά θα έπρεπε να κατανέμονται ομοιόμορφα, το καθένα περίπου στο 10% των περιπτώσεων, αλλά τα επτάρια ήταν 17% και τα πεντάρια μόλις 4%. Ο ίδιος ο Mebane τόνιζε ότι η ανάλυσή του δεν αποδεικνύει τη χειραγώγηση, απλώς συνηγορεί υπέρ της. Απόδειξη απάτης δεν ήταν σε καμία από τις δύο περιπτώσεις.

Δοκίμασέ το μόνος σου σε δικά σου δεδομένα, για παράδειγμα στην κίνηση του τραπεζικού σου λογαριασμού ή στις τιμές μιας απόδειξης. Κι αν δεν έχεις δεδομένα πρόχειρα, πάρε τις δυνάμεις του δύο. Από τις πρώτες χίλιες δυνάμεις, δηλαδή από το 2¹ ως το 2¹⁰⁰⁰, με το 1 αρχίζουν οι 301 και ο νόμος του Benford προβλέπει επίσης 301. Δύσκολα θα μπορούσε να ταιριάζει καλύτερα.

Δες επίσης

• Λογαριθμικές συναρτήσεις
• Βασικά στοιχεία στατιστικής
• Παράδοξο των γενεθλίων