Legge di Benford

Nel 1881 l’astronomo americano Simon Newcomb notò una cosa strana sulle tavole dei logaritmi. Le prime pagine, quelle con i numeri che iniziano per 1, erano molto più consumate delle altre. Ma perché mai si dovrebbero cercare i numeri che iniziano per 1 più spesso di quelli che iniziano per 8 o per 9? Newcomb scrisse un breve articolo sull’argomento. Nessuno lo notò.

Passarono 57 anni. Nel 1938 il fisico Frank Benford della General Electric si accorse indipendentemente della stessa cosa. E non lasciò perdere. Raccolse oltre 20.000 numeri da 20 ambiti diversi: aree dei bacini fluviali, costanti fisiche, tassi di mortalità, numeri presi da articoli di giornale, statistiche del baseball… Numeri che non hanno assolutamente nulla in comune.

All’inizio di un numero può esserci una di nove cifre diverse, da 1 a 9 (lo zero all’inizio di solito non c’è). Ci aspetteremmo quindi che ciascuna sia la prima con la stessa frequenza, in circa l’11% dei casi. Invece non fu così. Quando Benford sommò tutto, l’1 stava all’inizio di circa il 30% dei numeri. Più la cifra era alta, meno spesso compariva per prima, e con il 9 iniziava poco meno del 5% dei numeri. Oggi questo fenomeno si chiama legge di Benford, talvolta anche legge di Newcomb–Benford.

Perché proprio l’uno

Immagina un comune con 100 abitanti, il cui numero cresce ogni anno del 10%. Dopo ogni anno intero, il comune avrà, arrotondando, 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… abitanti. Per passare da 100 a 200 il numero di abitanti deve crescere del 100%, e ci vogliono 8 anni. Dopo sette anni il comune ha 195 abitanti, nell’ottavo anno ne ha già più di 200.

Da 200 a 300 basta una crescita del 50%, e da 800 a 900 solo del 12,5%. Più la prima cifra è alta, più in fretta il comune la supera. Nell’intero percorso da 100 a 1000 abitanti, che dura 25 anni, il numero di abitanti inizia con 1 per 8 anni, con 2 per 4 anni, con 3 per 3 anni e con le altre cifre solo per un anno o due. Con il 9 inizia per un solo anno, quello in cui il comune ha 985 abitanti, e l’anno dopo ne ha già più di mille. Otto anni su 25 sono il 32%, vicino a quel 30%. I numeri che crescono della stessa percentuale passano più tempo proprio con l’1 all’inizio.

È interessante che le unità di misura non contino. Se converti le lunghezze dei fiumi da chilometri a miglia, tutti i numeri cambiano. Ma se le lunghezze dei fiumi rispettano la legge di Benford, la rispettano anche in miglia. La quota di numeri che iniziano con 1 resta più o meno la stessa.

Con quale frequenza ogni cifra è la prima

Secondo la legge di Benford, la probabilità che un numero inizi con la cifra d è

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

dove log₁₀ è il logaritmo decimale. Proviamo prima con l’1, cioè sostituiamo d = 1:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Sommiamo dentro la parentesi:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

L’1 quindi apre circa il 30,1% dei numeri. Le altre cifre si comportano così:

In totale fa esattamente il 100%, come deve essere. La linea tratteggiata nel grafico indica $\frac{1}{9}$, cioè la quota che spetterebbe a ogni cifra se fossero tutte ugualmente frequenti.

Ora che abbiamo la formula, possiamo fare un passo in più. La legge vale anche per le prime due cifre. Basta sostituire a d i numeri di due cifre da 10 a 99. Le coppie 10 e 11 stanno all’inizio molto più spesso di 98 e 99:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Un numero inizia con 10 in circa il 4,1% dei casi e con 11 nel 3,8%, mentre con 98 o 99 solo in circa lo 0,44%. E lo stesso vale, per esempio, per le lunghezze dei fiumi del mondo.

Quando la legge vale e quando no

La legge di Benford di solito vale per dati che coprono diversi ordini di grandezza, cioè dalle decine fino ai milioni, e che nascono da una crescita naturale o da misurazioni. Ma nemmeno un grande intervallo la garantisce, per questo scriviamo «di solito».

Non vale per dati con un intervallo limitato. L’altezza degli adulti è compresa tra 150 e 200 cm, quindi inizia quasi sempre con 1. Non vale nemmeno per dati con limiti artificiali, per esempio gli importi dei prelievi al bancomat, che sono multipli di 20 € e hanno un limite massimo. E non si applica affatto a identificativi e codici, come i numeri di telefono o i CAP. Non sono quantità né misure, solo nomi scritti con le cifre.

Come si smascherano i truffatori

Chi inventa i numeri tende a dare a tutte le cifre una probabilità simile. Nelle fatture o nella contabilità inventate troveremo allora pochi 1 all’inizio e troppe cifre alte. Per questo revisori e autorità fiscali usano la legge come indicatore di dove andare a guardare. Nella contabilità forense è uno strumento comune.

Non è però una prova di frode. Un’azienda che vende un prodotto a 790 € avrà moltissime fatture che iniziano con 7 se i clienti lo comprano un pezzo alla volta, e nessuno ha falsificato nulla. Lo scostamento dice solo che vale la pena guardare più da vicino.

Uno studio di Bernhard Rauch e colleghi del 2011 ha confrontato con la legge di Benford i dati macroeconomici che gli Stati dell’Unione Europea hanno comunicato a Eurostat tra il 1999 e il 2009 per le regole sul deficit. Tra i Paesi dell’eurozona, i dati che si discostavano di più dalla legge erano quelli della Grecia, un Paese che in quel periodo risultò aver falsato i dati sul proprio deficit.

Dopo le elezioni presidenziali iraniane del 2009, vinte da Mahmoud Ahmadinejad, alcuni statistici analizzarono il conteggio dei voti. Nelle elezioni, però, la prima cifra non è adatta, perché i seggi hanno dimensioni simili e il numero di voti non copre abbastanza ordini di grandezza. Walter Mebane ha quindi applicato la legge di Benford alla seconda cifra dei risultati delle singole urne e per tre candidati su quattro ha trovato scostamenti. Bernd Beber e Alexandra Scacco hanno esaminato le ultime cifre dei risultati nelle province. Dovrebbero essere distribuite in modo uniforme, ciascuna in circa il 10% dei casi, invece i 7 erano il 17% e i 5 solo il 4%. Lo stesso Mebane sottolineava che la sua analisi non dimostra la manipolazione, la sostiene soltanto. In nessuno dei due casi era una prova di frode.

Provaci tu stesso con i tuoi dati, per esempio con l’estratto conto o con i prezzi di uno scontrino. E se non hai dati a portata di mano, prendi le potenze del 2. Tra le prime mille potenze, cioè da 2¹ a 2¹⁰⁰⁰, ne iniziano con 1 ben 301, e la legge di Benford ne prevede proprio 301. Meglio di così non potrebbe tornare.

Vedi anche

• Logaritmi
• Elementi di statistica
• Paradosso del compleanno