Закон Бенфорда

У 1881 році американський астроном Саймон Ньюкомб помітив дивну річ у таблицях логарифмів. Перші сторінки, де записані числа, що починаються з одиниці, були набагато пошарпаніші за наступні. Але чому б людям шукати числа, що починаються з одиниці, частіше, ніж ті, що починаються з вісімки чи дев'ятки? Ньюкомб написав про це коротку статтю. Ніхто її не помітив.

Минуло 57 років. У 1938 році те саме незалежно від нього помітив фізик Френк Бенфорд з компанії General Electric. І він цього так не залишив. Він зібрав понад 20 000 чисел із 20 різних галузей: площі басейнів річок, фізичні константи, смертність, числа з газетних статей, бейсбольну статистику… Числа, які між собою не мають нічого спільного.

На початку числа може стояти дев'ять різних цифр, від 1 до 9 (нуль на початку зазвичай не стоїть). Тож можна було б чекати, що кожна з них буде першою однаково часто, приблизно в 11 % випадків. Але так не було. Коли Бенфорд усе це підсумував, одиниця стояла на початку приблизно 30 % чисел. Чим більша цифра, тим рідше вона була першою, а дев'яткою починалося лише трохи менше ніж 5 % чисел. Це явище нині називають законом Бенфорда, а іноді також законом Ньюкомба–Бенфорда.

Чому саме одиниця

Уяви село зі 100 мешканців, кількість яких щороку зростає на 10 %. Через ціле число років у селі буде, округлено, 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… мешканців. Щоб дійти зі 100 до 200, кількість мешканців має зрости на 100 %, а це триває 8 років. Через сім років у селі 195 мешканців, а на восьмому році їх уже більше ніж 200.

З 200 до 300 вже досить зростання на 50 %, а з 800 до 900 лише на 12,5 %. Що більша перша цифра, то швидше село її проскакує. На всьому шляху зі 100 до 1 000 мешканців, який триває 25 років, кількість мешканців починається з одиниці 8 років, з двійки 4 роки, з трійки 3 роки, а з наступних цифр уже лише рік або два. З дев'ятки вона починається лише один рік, коли в селі 985 мешканців, а вже наступного року їх більше ніж тисяча. Вісім років із 25 — це 32 %, близько тих самих 30 %. Числа, що зростають на однаковий відсоток, найбільше часу проводять саме з одиницею на початку.

Цікаво, що від одиниць виміру нічого не залежить. Якщо перерахувати довжини річок з кілометрів на милі, усі числа зміняться. Проте якщо довжини річок закон Бенфорда виконують, то вони виконують його й у милях. Частка одиниць майже не зміниться.

Як часто яка цифра є першою

Ймовірність того, що число починається з цифри d, за законом Бенфорда дорівнює

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

де log₁₀ — десятковий логарифм. Спробуймо спершу для одиниці, тобто підставимо d = 1:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Додаємо в дужках:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

Отже, з одиниці починається приблизно 30,1 % чисел. Решта цифр виглядають так:

Разом це дає рівно 100 %, як і має бути. Пунктирна лінія на графіку позначає $\frac{1}{9}$, тобто частку, яка припала б кожній цифрі, якби всі вони траплялися однаково часто.

Маючи формулу, можемо піти на крок далі. Закон виконується і для перших двох цифр. Достатньо підставити в ту саму формулу замість d двоцифрові числа від 10 до 99. Пари 10 і 11 стоять на початку набагато частіше, ніж 98 і 99:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Число починається з 10 приблизно у 4,1 % випадків, а з 11 — у 3,8 %, тоді як з 98 або 99 лише приблизно в 0,44 %. І те саме стосується, наприклад, довжин річок світу.

Коли закон виконується, а коли ні

Закон Бенфорда здебільшого виконується для даних, які охоплюють кілька порядків, тобто від десятків до мільйонів, і виникають унаслідок природного зростання або вимірювання. Але навіть великий діапазон його не гарантує, тому «здебільшого».

Він не виконується для даних з обмеженим діапазоном. Зріст дорослих людей лежить між 150 і 200 см, тож майже завжди починається з одиниці. Не виконується він і для даних зі штучними обмеженнями, наприклад для сум зняття готівки в банкоматі, які кратні сотням і мають верхню межу. І зовсім не стосується ідентифікаторів і кодів, як-от телефонних номерів або РНОКПП (ідентифікаційних кодів). Вони не є ні кількостями, ні мірами, а лише іменами, записаними цифрами.

Як за допомогою закону ловлять шахраїв

Хто вигадує числа, той схильний давати всім цифрам приблизно однакові шанси. У вигаданих рахунках-фактурах чи бухгалтерії одиниць на початку ми знайдемо мало, а вищих цифр забагато. Тому аудитори й податкові служби використовують закон як показник того, куди дивитися. У судово-бухгалтерській експертизі це звичайний інструмент.

Але доказом шахрайства це не є. Фірма, яка продає один виріб за 790 грн, матиме безліч рахунків, що починаються із семірки, якщо купують по одному виробу, і при цьому ніхто нічого не підробляв. Відхилення лише свідчить, що варто придивитися уважніше.

Дослідження Бернгарда Рауха з колегами 2011 року порівняло із законом Бенфорда макроекономічні дані, які держави Європейського Союзу в 1999–2009 роках повідомляли Євростату через правила щодо дефіциту. З країн єврозони найбільше від закону відхилялися дані Греції, тобто країни, про яку тоді виявилося, що вона спотворювала дані про свій дефіцит.

Після президентських виборів в Ірані 2009 року, які виграв Махмуд Ахмадінежад, статистики розібрали кількості голосів. Для виборів, щоправда, перша цифра не годиться, адже виборчі дільниці мають подібну величину, а отже, кількості голосів не охоплюють достатньо порядків. Тому Волтер Мебейн тестував за законом Бенфорда другу цифру результатів з окремих виборчих урн і в трьох із чотирьох кандидатів знайшов відхилення. Бернд Бебер і Александра Скакко досліджували останні цифри результатів у провінціях. Вони мають бути розподілені рівномірно, кожна приблизно в 10 % випадків, але сімок було 17 %, а п'яток лише 4 %. Сам Мебейн підкреслював, що його аналіз маніпуляцію не доводить, а лише говорить на її користь. Доказом шахрайства це не було ні в одному з випадків.

Спробуй сам на власних даних, наприклад на виписці з рахунку чи на цінах у чеку. А якщо жодних даних під рукою немає, візьми степені двійки. З першої тисячі степенів, тобто від 2¹ до 2¹⁰⁰⁰, з одиниці починається 301, і закон Бенфорда теж передбачає 301. Краще збігтися, мабуть, не може.

Дивись також

• Логарифмічна функція
• Основи статистики
• Парадокс днів народження