Benford Yasası

1881 yılında Amerikalı astronom Simon Newcomb logaritma tablolarında tuhaf bir şey fark etti. 1 ile başlayan sayıların bulunduğu ilk sayfalar, sonrakilerden çok daha fazla yıpranmıştı. Peki insanlar neden 1 ile başlayan sayılara, 8 ya da 9 ile başlayanlardan daha sık bakardı ki? Newcomb bu konuda kısa bir yazı yazdı. Kimse yazıyı fark etmedi.

Aradan 57 yıl geçti. 1938’de General Electric şirketinde çalışan fizikçi Frank Benford aynı şeyi bağımsız olarak fark etti. Ama o işi oluruna bırakmadı. 20 farklı alandan 20.000’den fazla sayı topladı: nehir havzalarının alanları, fiziksel sabitler, ölüm oranları, gazete yazılarındaki sayılar, beyzbol istatistikleri… Birbiriyle hiçbir ilgisi olmayan sayılar.

Bir sayının başında 1’den 9’a kadar dokuz farklı rakam durabilir (başta 0 genellikle olmaz). Bu yüzden her rakamın eşit sıklıkta, yaklaşık %11 oranında ilk rakam olmasını bekleriz. Ama öyle olmadı. Benford hepsini toplayınca 1’in sayıların yaklaşık %30’unda başta durduğunu gördü. Rakam büyüdükçe ilk rakam olma sıklığı azalıyordu; 9 ile başlayan sayılar %5’e bile varmıyordu. Bu olguya bugün Benford yasası, bazen de Newcomb–Benford yasası denir.

Neden Tam Olarak 1

Nüfusu 100 olan bir kasaba düşün. Nüfus her yıl %10 artıyor. Yıl sonlarında kasabanın nüfusu yuvarlanmış olarak 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… olur. Kasabanın 100’den 200’e çıkması için nüfusun %100 artması gerekir ve bu 8 yıl sürer. Yedi yıl sonra kasabanın nüfusu 195’tir, sekizinci yılda ise 200’ü geçer.

200’den 300’e çıkmak için %50’lik artış yeter, 800’den 900’e çıkmak için ise yalnızca %12,5’lik. İlk rakam büyüdükçe kasaba o rakamı daha çabuk geçer. Nüfusun 100’den 1.000’e çıktığı 25 yıllık yolculuğun tamamında nüfus 8 yıl boyunca 1 ile, 4 yıl 2 ile, 3 yıl 3 ile başlar; sonraki rakamlarla başlayan süre ise yalnızca bir iki yıldır. 9 ile yalnızca bir yıl başlar: nüfusun 985 olduğu yıl. Hemen ertesi yıl nüfus 1.000’i aşar. 25 yılın 8’i %32 eder, yani o %30’a çok yakındır. Aynı yüzdeyle büyüyen sayılar en çok zamanı başlarında 1 varken geçirir.

İlginç olan, birimlerin önemli olmamasıdır. Nehirlerin uzunluklarını kilometreden mile çevirirsen bütün sayılar değişir. Ama nehir uzunlukları Benford yasasına uyuyorsa mil cinsinden de uyar. 1’in payı yaklaşık olarak aynı kalır.

Hangi Rakam Ne Kadar Sık İlk Rakam Olur

Benford yasasına göre bir sayının d rakamıyla başlama olasılığı

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

formülüyle bulunur. Burada log₁₀, onluk logaritma demektir. Önce 1 için deneyelim, yani d = 1 yazalım:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Parantezin içini toplarız:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

Demek ki sayıların yaklaşık %30,1’i 1 ile başlar. Diğer rakamlar şöyle çıkar:

Toplam tam olarak %100 eder, olması gerektiği gibi. Grafikteki kesikli çizgi $\frac{1}{9}$’u, yani bütün rakamlar eşit sıklıkta olsaydı her rakama düşecek payı gösterir.

Formülümüz elimizdeyken bir adım daha ileri gidebiliriz. Yasa ilk iki rakam için de geçerlidir. Aynı formülde d yerine 10’dan 99’a kadar iki basamaklı sayıları yazmak yeter. Böylece 10 ile 11, sayıların başında 98 ile 99’dan çok daha sık durur:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Bir sayı yaklaşık %4,1 olasılıkla 10 ile, %3,8 olasılıkla 11 ile başlar; 98 ya da 99 ile başlama olasılığı ise yalnızca yaklaşık %0,44’tür. Aynısı örneğin dünyadaki nehirlerin uzunlukları için de geçerlidir.

Yasa Ne Zaman Geçerli, Ne Zaman Değil

Benford yasası genellikle birkaç büyüklük mertebesine yayılan, yani onlardan milyonlara kadar çıkan ve doğal büyüme ya da ölçümle oluşan veriler için geçerlidir. Ama geniş aralık bile yasanın geçerli olacağını garanti etmez, o yüzden “genellikle” diyoruz.

Aralığı sınırlı olan veriler için geçerli değildir. Yetişkinlerin boyu 150 ile 200 cm arasında değişir, bu yüzden neredeyse her zaman 1 ile başlar. Yapay sınırları olan veriler için de geçerli değildir; örneğin yüzün katları olan ve üst sınırı bulunan ATM çekim tutarları gibi. Telefon numaraları ya da T.C. kimlik numaraları gibi tanımlayıcılar ve kodlar için de hiç geçerli değildir. Bunlar ne bir sayım ne de bir ölçüm sonucudur; yalnızca rakamlarla yazılmış adlardır.

Sahtekârlar Bununla Nasıl Yakalanır

Sayıları uyduran kişi, bütün rakamlara benzer bir şans tanıma eğilimindedir. Uydurma faturalarda ya da muhasebe kayıtlarında başta 1’i az, daha büyük rakamları ise fazla görürüz. Denetçiler ve vergi daireleri de bu yüzden yasayı nereye bakmaları gerektiğini gösteren bir işaret olarak kullanır. Adli muhasebede yaygın bir araçtır.

Ama bu bir sahtekârlık kanıtı değildir. Bir ürünü 790 TL’ye satan şirketin, ürünler tek tek satın alınıyorsa, 7 ile başlayan pek çok faturası olur ve kimse sahtecilik yapmamıştır. Sapma yalnızca daha yakından bakmaya değer olduğunu söyler.

Bernhard Rauch ve arkadaşlarının 2011 tarihli çalışması, Avrupa Birliği ülkelerinin 1999–2009 yıllarında bütçe açığı kuralları nedeniyle Eurostat’a bildirdiği makroekonomik verileri Benford yasasıyla karşılaştırdı. Avro bölgesi ülkeleri arasında yasadan en çok sapan, Yunanistan’ın verileriydi; o dönemde bu ülkenin bütçe açığına ilişkin verileri çarpıttığı ortaya çıkmıştı.

2009’da Mahmud Ahmedinejad’ın kazandığı İran cumhurbaşkanlığı seçimlerinden sonra istatistikçiler oy sayılarını inceledi. Seçimlerde ilk rakam pek uygun değildir, çünkü sandık bölgelerinin büyüklüğü birbirine yakındır ve oy sayıları yeterince çok büyüklük mertebesine yayılmaz. Bu yüzden Walter Mebane, tek tek sandıklardan gelen sonuçların ikinci rakamını Benford yasasına göre sınadı ve dört adaydan üçünde sapma buldu. Bernd Beber ile Alexandra Scacco ise eyaletlerdeki sonuçların son rakamlarını inceledi. Bu rakamlar eşit dağılmalıdır, her biri yaklaşık %10 olasılıkla; oysa 7’ler %17, 5’ler yalnızca %4 çıktı. Mebane de analizinin manipülasyonu kanıtlamadığını, yalnızca desteklediğini bizzat vurguladı. İki durumda da bu bir sahtekârlık kanıtı değildi.

Bunu kendi verilerinde sen de dene, örneğin banka hesap dökümünde ya da fişteki fiyatlarda. Elinde hiç veri yoksa 2’nin kuvvetlerini al. İlk bin kuvvetten, yani 2¹’den 2¹⁰⁰⁰’e kadar olanlardan 301’i 1 ile başlar ve Benford yasası da 301 öngörür. Bundan iyisi herhalde olamaz.

Ayrıca Bak

• Logaritma Fonksiyonu
• İstatistiğin Temelleri
• Doğum Günü Paradoksu