Loi de Benford

En 1881, l’astronome américain Simon Newcomb remarqua quelque chose d’étrange dans les tables de logarithmes. Les premières pages, celles où les nombres commencent par un 1, étaient beaucoup plus usées que les autres. Pourquoi les gens chercheraient-ils plus souvent des nombres commençant par un 1 que par un 8 ou un 9 ? Newcomb rédigea un court article à ce sujet. Personne ne le remarqua.

57 ans passèrent. En 1938, le physicien Frank Benford, de la société General Electric, fit la même observation, de son côté. Et il ne laissa pas les choses en l’état. Il rassembla plus de 20 000 nombres provenant de 20 domaines différents : superficies des bassins fluviaux, constantes physiques, taux de mortalité, nombres tirés d’articles de journaux, statistiques de baseball… Des nombres qui n’ont rigoureusement rien en commun.

En début de nombre, neuf chiffres différents peuvent apparaître, de 1 à 9 (le zéro n’apparaît en général pas au début). On s’attendrait donc à ce que chaque chiffre soit le premier à peu près aussi souvent, dans environ 11 % des cas. Mais ce n’était pas le cas. Quand Benford additionna l’ensemble, le 1 se trouvait en début de nombre dans environ 30 % des cas. Plus le chiffre est élevé, moins il apparaît en premier, et seuls un peu moins de 5 % des nombres commençaient par un 9. Ce phénomène s’appelle aujourd’hui la loi de Benford, parfois aussi loi de Newcomb-Benford.

Pourquoi justement le 1

Imagine une commune de 100 habitants dont la population augmente chaque année de 10 %. Au fil des années, la commune compte donc environ 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… habitants. Pour passer de 100 à 200, la population doit augmenter de 100 %, ce qui prend 8 ans. Au bout de sept ans, la commune compte 195 habitants, et la huitième année elle dépasse les 200.

De 200 à 300, une hausse de 50 % suffit, et de 800 à 900, seulement 12,5 %. Plus le premier chiffre est élevé, plus la commune le franchit vite. Sur tout le chemin de 100 à 1 000 habitants, qui dure 25 ans, la population commence par 1 pendant 8 ans, par 2 pendant 4 ans, par 3 pendant 3 ans, et les autres chiffres pendant seulement un ou deux ans. Elle ne commence par 9 qu’une seule année, celle où la commune compte 985 habitants, et l’année suivante elle en compte déjà plus de mille. 8 ans sur 25 font 32 %, proche des 30 %. Les nombres qui augmentent du même pourcentage passent le plus de temps à commencer par un 1.

Ce qui est intéressant, c’est que les unités n’ont pas d’importance. Si l’on convertit les longueurs des fleuves de kilomètres en miles, tous les nombres changent. Mais si les longueurs des fleuves suivent la loi de Benford, elles la suivent aussi en miles. La part des 1 en début de nombre reste à peu près la même.

À quelle fréquence chaque chiffre est-il le premier ?

La probabilité qu’un nombre commence par le chiffre d est, selon la loi de Benford,

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

où log₁₀ est le logarithme décimal. Essayons d’abord avec le 1, c’est-à-dire d = 1 :

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

En additionnant dans la parenthèse :

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

Le 1 commence donc environ 30,1 % des nombres. Les autres chiffres se répartissent comme suit :

Au total, cela fait exactement 100 %, comme il se doit. La ligne en pointillés du graphique marque $\frac{1}{9}$, c’est-à-dire la part qui reviendrait à chaque chiffre si tous étaient également fréquents.

Une fois la formule en main, on peut aller plus loin. La loi s’applique aussi aux deux premiers chiffres. Il suffit de substituer à d les nombres à deux chiffres, de 10 à 99. Les paires 10 et 11 apparaissent donc beaucoup plus souvent en début de nombre que 98 et 99 :

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Un nombre commence par les chiffres 10 dans environ 4,1 % des cas, par 11 dans 3,8 %, alors que 98 ou 99 n’apparaissent qu’environ dans 0,44 % des cas. Il en va de même, par exemple, pour les longueurs des fleuves du monde.

Quand la loi s’applique-t-elle, et quand ne s’applique-t-elle pas ?

La loi de Benford s’applique en général aux données qui couvrent plusieurs ordres de grandeur, des dizaines jusqu’aux millions, et qui résultent d’une croissance naturelle ou d’une mesure. Mais une grande étendue ne le garantit pas, c’est pourquoi « en général ».

Elle ne s’applique pas aux données de faible étendue. La taille des adultes varie entre 150 et 200 cm, donc elle commence presque toujours par un 1. Elle ne s’applique pas non plus aux données soumises à des limites artificielles, par exemple aux montants retirés aux distributeurs automatiques, qui sont des multiples de cent et ont un plafond. Et elle ne concerne pas du tout les identifiants et les codes, comme les numéros de téléphone ou de sécurité sociale. Ce ne sont ni des comptages ni des mesures, seulement des noms écrits à l’aide de chiffres.

Comment la loi permet de repérer les fraudeurs

Celui qui invente des nombres a tendance à donner à tous les chiffres une chance similaire. Dans des factures inventées ou une comptabilité falsifiée, on trouve donc peu de 1 en début de nombre et trop de chiffres élevés. Les auditeurs et les services fiscaux utilisent donc la loi comme indicateur pour savoir où regarder. Dans les enquêtes sur les fraudes comptables, c’est un outil courant.

Cela ne constitue toutefois pas une preuve de fraude. Une entreprise qui vend un produit à 79 € aura beaucoup de factures commençant par un 7 si chaque achat ne concerne qu’un seul exemplaire, et pourtant personne n’aura rien falsifié. L’écart indique seulement qu’il vaut la peine de regarder de plus près.

En 2011, Bernhard Rauch et ses collègues comparèrent avec la loi de Benford des données macroéconomiques que les États membres de l’Union européenne avaient transmises à Eurostat entre 1999 et 2009 dans le cadre des règles sur le déficit. Parmi les pays de la zone euro, ce sont les données de la Grèce qui s’écartaient le plus de la loi, c’est-à-dire le pays dont il est apparu à l’époque qu’il avait faussé les chiffres de son déficit.

Après l’élection présidentielle iranienne de 2009, des statisticiens analysèrent les nombres de voix. Pour les élections, cependant, le premier chiffre ne convient pas, car les bureaux de vote ont des tailles similaires et les nombres de voix ne couvrent donc pas assez d’ordres de grandeur. Walter Mebane testa donc la loi de Benford sur le deuxième chiffre des résultats de chaque bureau de vote, et il trouva des écarts pour trois des quatre candidats. Bernd Beber et Alexandra Scacco examinèrent les derniers chiffres des résultats par province. Ceux-ci devraient être répartis uniformément, chacun dans environ 10 % des cas, or on comptait 17 % de 7 et seulement 4 % de 5. Mebane lui-même souligna que son analyse ne prouvait pas la manipulation, elle la rendait seulement plausible. Dans aucun des deux cas il ne s’agissait d’une preuve de fraude.

Essaie-le toi-même sur tes propres données, par exemple sur un relevé de compte ou sur les prix d’un ticket de caisse. Et si tu n’as aucune donnée sous la main, prends les puissances de deux. Parmi les mille premières puissances de deux, de 2¹ à 2¹⁰⁰⁰, 301 commencent par un 1, et la loi de Benford en prédit également 301. Difficile de faire mieux.

Voir aussi

• Logarithmes
• Bases de la statistique
• Paradoxe des anniversaires