Isolering af en variabel

Hvordan isolerer man én bestemt variabel i en mere kompliceret sammenhæng eller brøk? Denne teknik bruges især, når man arbejder med forskellige formler, hvor der forekommer flere variable. Kombineret med andre formler kan vi endda opnå uanede resultater, hvor vi udleder alt ud af ingenting.

Enkle lineære udtryk

Lad os tage denne formel: ax + b = c. Hvordan isolerer vi x i denne tænkte formel? Vi begynder altid med at flytte alle led med den variabel, vi isolerer, over på venstre side og resten over på højre side. I teorien er det ligegyldigt, hvad der står på hvilken side, men det er sædvane at have den ubekendte, som vi isolerer, til venstre. Så først flytter vi b over på højre side, altså lægger vi −b til ligningen:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

Leddene med variablen har vi på den ene side, men a er stadig i vejen. Hvordan slipper vi elegant af med det? Hvad skal vi gøre ved udtrykket ax for at få bare x? Ja, vi dividerer udtrykket — og dermed hele ligningen — med a, eller med andre ord ganger med $\frac{1}{a}$. Værdien af a skal samtidig være forskellig fra nul (vi kan ikke dividere med nul). Hvis vi gør det, får vi:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Så er vi færdige. Et andet eksempel:

$$2ax-3bx=10a$$

Igen skal vi isolere x. Leddene med den ubekendte har vi allerede på venstre side, så vi har sparet lidt arbejde. Komplikationen er dog, at vi har to led med den ubekendte. Situationen løser vi ved at sætte uden for parentes. På venstre side af ligningen sætter vi x uden for parentes og får:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

Da vi i det foregående eksempel havde udtrykket ax og ville have bare x, gangede vi hele ligningen med $\frac{1}{a}$. Nu har vi i ligningen udtrykket x(2a − 3b) og vil igen kende x. Vi gør det samme og dividerer hele ligningen med udtrykket (2a − 3b). Vær ikke bange, vi kan virkelig dividere ligningen med hele parentesen, der skal bare gælde 2a − 3b ≠ 0.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Brøker

Hvis vi har et udtryk med brøker, bruger vi de samme omformninger af ligninger, vi skal bare passe på, at vi ikke kommer til at dividere eller gange med nul. Eksempel:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

Vi vil isolere x. Vi ganger hele ligningen med x — vi må bare tilføje forudsætningen, at x ≠ 0. Det gælder alligevel, fordi der i ligningen er brøken $\frac{a}{x}$, og x står i nævneren — og vi kan ikke dividere med nul. Vi får så ligningen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

Når du isolerer en ubekendt, skal du simpelthen bruge de almindelige ækvivalente omformninger af ligninger.