Fakultet

Fakultetet af tallet n er lig med produktet af alle naturlige tal, som er mindre end eller lig med tallet n. Fakultet skriver vi med et udråbstegn n!. For nul gælder: 0! = 1. Fakultet bruges først og fremmest i kombinatorik, hvor man med det for eksempel beregner permutationer. Fakultetet af fem ville for eksempel være lig med 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Definition af fakultet

Fakultet kan defineres på forskellige måder. Den enkleste er nok denne:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{hvis n = 0}\\ n\cdot (n-1)!& \text{ellers}\end{array}$$

Vi kan også angive definitionen ved hjælp af et produkt:

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

Eller også ved hjælp af et integral:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

Regning med fakulteter

Med fakulteter regner man ofte i brøker. Her bruger man det faktum, at n! = n · (n − 1)!. Det gælder ifølge definitionen, og det viser vi på et eksempel. Vi ved, at fakultetet af fire, 4!, er lig med produktet af disse naturlige tal: 4 · 3 · 2 · 1. Samtidig kan vi skrive, at produktet 3 · 2 · 1 er lig med fakultetet af tre: 3 · 2 · 1 = 3!. Fakultetet af fire kan vi så skrive som 4! = 4 · 3!.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Takket være det kan vi forkorte mange forskellige fakulteter i brøker effektivt. Et eksempel — forenkl udtrykket:

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Vi forenkler efter formlen, som jeg nævnte for et øjeblik siden. I tælleren kan vi dele fakultetet op i n · (n − 1)!, og det kan vi (efter samme formel) yderligere opløse i n · (n − 1) · (n − 2)!. Nu kan vi forkorte brøken pænt:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Endnu et eksempel:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

Og det sidste eksempel på fakultet:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$