Hvad er et bevis

Beviser er hele matematikkens grundsten, takket være beviser kan du bygge en hel pyramide af nogle få småsten, og det oven i købet på hovedet.

Meningen med beviser

Beviser giver mening i matematik af flere grunde. Hovedgrunden er, at vi uden hjælp fra beviser ikke kan bekræfte nogen idé eller hypotese, der falder os ind. Vi kunne for eksempel tro, at der findes et endeligt antal primtal, men hvis vi ikke har et bevis, bliver det bare en tankeløs påstand. På den anden side giver også ubeviste påstande mening i matematik (og andre steder). Man siger simpelthen, at hvis forudsætningen om, at der er endeligt mange primtal, gælder, så gælder… en anden teori.

Så skal vi ikke undre os over, at en eller anden med tiden beviser, at der er uendeligt mange primtal, som vi viser nedenfor, og hele vores teori falder sammen som et korthus. Takket være beviser kan vi derfor bygge korthuse, der aldrig falder sammen.

Grunden til, at man lærer beviser i skolen, er, at den, der forstår beviset, også forstår stoffet. Som regel kan du kun vanskeligt forstå stoffet grundigt, uden at du forstår beviserne. Ordet »forstår« har jeg fremhævet helt bevidst, for hvis du lærer beviserne udenad dagen før prøven og dagen efter bare brækker dem op på papiret, betyder det ikke, at du er tættere på at forstå emnet.

Når du lærer et stof, svarer beviser derfor på spørgsmålet »hvorfor fungerer det sådan?« Hvis du forstår, hvorfor en ting fungerer, husker du den lettere, og med tiden vil du forstå stoffet langt bedre end en, der har lært det ved at pugge. Spørgsmålet er, om det er dit mål.

Hvad er et bevis

Hvad et bevis er, defineres formelt i matematisk logik for eksempel ved hjælp af syntaktisk følge, men vi nøjes med en langt enklere definition.

I begyndelsen af ethvert bevis skal vi have en påstand, som vi vil bevise. Denne påstand betegner vi med det magiske symbol ϕ. Det er et græsk bogstav, som vi læser »fi«. Desuden får vi brug for en mængde af aksiomer og forudsætninger, som vi betegner Ax, og som vi beviser påstanden ϕ ud fra. Mængden af aksiomer er noget, vi allerede ved, noget, vi går ud fra gælder. Det kan være ting som for eksempel »ethvert lige tal er samtidig deleligt med to«. Desuden kan denne mængde for eksempel indeholde formler til omformning af udtryk, som er bevist et andet sted, og som vi allerede går ud fra gælder, for eksempel:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2;a,b\in \mathbb{R}$$

Nu omformer vi gradvist påstandene i mængden Ax, indtil vi får påstanden ϕ. Alle omformninger skal være logisk korrekte, de skal svare til den grundlæggende udsagnslogik. Hvis vi for eksempel ville bevise den foregående formel, ville vi gå frem sådan, at vi omformer udtrykket

$$(a+b{)}^2$$

med ækvivalente omformninger, indtil vi får udtrykket på højre side. Jeg viser det:

$$(a+b{)}^2=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=$$

$$=a\cdot a+2ab+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$$

I det første trin skrev vi potensen op som et produkt, i det andet trin gangede vi parenteserne ud, i det tredje trin lagde vi ens led sammen, og i det sidste trin skrev vi produktet som en potens. Hvert trin var en elementær omformning, som vi kunne tillade os, og vi går ud fra, at hver af disse elementære omformninger er indeholdt i mængden Ax.

Det vigtige er, at hver omformning skal være gyldig, den skal udgå fra noget, vi allerede kender. Et matematisk bevis er lidt som evolution — med gradvise små ændringer får vi fra ét udtryk et andet udtryk.

Trivielle beviser

Et trivielt bevis (også kaldet et indlysende bevis) er en terminus technicus for et bevis, der ikke er plads til på tavlen, så det springes over, og eleven lærer det fra noterne som lektie. :-) Men seriøst — trivielle beviser er beviser, der typisk følger af en definition i ét trivielt trin.

Vi prøver at vise det på et eksempel: lad os tage mængden af naturlige tal, altså mængden af tal ℕ = {1, 2, 3, …}. Nu kan vi sige, at enhver brøk af formen:

$$\frac{q}{p};q,p\in \mathbb{N}$$

er en gyldig brøk, altså vi finder ikke noget par af tal q, p, for hvilket den givne brøk ikke ville give mening. Hvordan ville vi bevise det? Først skal vi finde ud af, hvornår en brøk ikke giver mening. En brøk giver ikke mening, når der står nul i nævneren (vi kan ikke dividere med nul). Vi skal altså bevise, at p ≠ 0 for alle mulige p. Men vi ved, at vi tager p fra de naturlige tal, som vi har defineret som ℕ = {1, 2, 3, …}. Mængden af naturlige tal indeholder ikke nul, så tallet p vil altid være forskelligt fra nul.

$$\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}:p\ne 0$$

Og beviset er overstået. Vi ved, at hvis både tæller og nævner i en brøk er fra de naturlige tal, bliver brøken gyldig.

Trivielle beviser er som regel virkelig trivielle, men kun hvis du kender den omgivende sammenhæng. Hvis du for eksempel ikke forstår begrebet mængde eller ikke ved, hvad det vil sige, at p er et element i mængden ℕ, så var heller ikke dette bevis trivielt for dig. Trivielle beviser kendetegnes derfor ikke så meget ved, at de er enkle, som ved, at de er korte og følger enkelt af en (vilkårligt svær) sammenhæng.

Modeksempel

Et modeksempel er nok den enkleste måde at bevise, at et givet udtryk ikke er sandt. Det vigtige er ordet ikke. Et modeksempel kan nemlig pege på et tilfælde, hvor den givne påstand ikke gælder, men generelt er selv aldrig så mange eksempler ikke nok, når der er uendeligt mange elementer, vi kan teste.

Eksempel: »ethvert naturligt tal er større end ti«. Hvordan beviser vi, at det ikke er sandt? Et modeksempel til vores påstand er for eksempel tallet fem. Tallet fem er et naturligt tal og er ikke større end ti. Påstanden kan vi ikke bevise ved at nævne nogle få naturlige tal, der er større end ti. Du kan ikke sige »de naturlige tal 11, 12, 13, 123 og 5345 er større end 10, så den givne påstand er sand«. Det kan man ikke. Det er bare et udvalg af nogle få eksempler, for hvilke vores påstand gælder, men det siger ingenting om de andre tal, som vi slet ikke har nævnt.

Andet eksempel: enhver mand over to meter har brune eller blå øjne. Jeg går ud fra, at kun få kan finde et modeksempel. Hvad fortæller det os om den givne påstand? Ja, slet ingenting. Hvis vi ikke kan finde et modeksempel, betyder det ikke nødvendigvis, at den givne påstand er sand. Modeksemplet kan godt eksistere et sted, vi kan bare ikke finde det lige nu. Manglende evne til at finde et modeksempel beviser ikke, at den givne påstand er sand.

Direkte bevis

Den grundlæggende type bevis er det direkte bevis. Vi følger tørt definitionen og omformer den første påstand, indtil vi får den påstand, vi vil have. Typisk vil vi bevise en påstand af formen implikation A ⇒ B, hvor A er et eller andet udgangspunkt, en forudsætning, og B er den påstand, vi vil udlede, bevise. Hvis påstanden A gælder, så gælder påstanden B. Ofte har vi kun påstanden B givet, altså det, vi vil bevise, og påstanden A må vi selv vælge hensigtsmæssigt.

Det følgende er en fremgangsmåde, hvor vi ved hjælp af implikationer udleder andre påstande, og som sidste påstand står påstanden B. Skematisk kunne det skrives sådan:

$$A\Rightarrow A_1\Rightarrow A_2\Rightarrow A_3\Rightarrow \dots \Rightarrow A_n\Rightarrow B$$

Som eksempel beviser vi, at påstanden

$$a>1\Rightarrow a^2>1$$

gælder. Nu trin for trin:

1. Fordi a>1, gælder helt sikkert også a>0 og også a ≠ 0 (vi svækker egentlig bare betingelsen).
2. Fordi a ikke er lig med nul og er positivt, kan vi uden betænkelighed gange ulighedens begge sider med variablen a. Hvis a var nul, ville den strenge ulighed ikke bevares (vi ville få 0>0), hvis det var negativt, skulle vi vende ulighedstegnet. Efter multiplikationen med variablen a får vi udtrykket a²>a.
3. På dette tidspunkt ved vi, at a>1, og samtidig ved vi, at a²>a. Hvis vi sætter disse to udtryk sammen, får vi: a²>a>1.
4. Herfra fjerner vi bare det midterste udtryk og har udtrykket a²>1. Det kunne vi tillade os, fordi a er større end en, og a² er større end a. Hvis a² er større end a, og a samtidig er større end en, er a² helt sikkert større end en.

Symbolsk kunne vi skrive det sådan:

$$a>1\Rightarrow a>0\Rightarrow a^2>a\Rightarrow a^2>a>1\Rightarrow a^2>1.$$

Indirekte bevis

Det indirekte bevis udnytter mere egenskaberne ved implikation. Hvis vi skal bevise en påstand af formen A ⇒ B, kan vi bruge den kontraponerede implikation og bevise

$$\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A.$$

Denne fremgangsmåde kan nogle gange være mere fordelagtig end for eksempel et direkte bevis. En lignende fremgangsmåde bruger modstridsbevis, som ethvert indirekte bevis kan omskrives til. Vi prøver at bevise påstanden indirekte

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Nu foretager vi kontraposition af implikationen:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\neg }(a=b)& \Rightarrow & \mathrm{\neg }(a-b=0)\\ a\ne b& \Rightarrow & a-b\ne 0\end{array}$$

Hvis a ≠ b, kan vi opløse b i summen b = a + x, hvor x er afstanden mellem tallet b og tallet a. Udtrykket ændrer sig sådan:

$$a\ne (a+x)\Rightarrow a-(a+x)\ne 0;x\ne 0$$

Vi trækker de variabler a fra, som vi kan:

$$0\ne x\Rightarrow -x\ne 0;x\ne 0$$

Fordi x ≠ 0, er også −x ≠ 0, så implikationen gælder. Påstanden er bevist, og dermed gælder også den oprindelige påstand

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Andre bevisteknikker er for eksempel det allerede nævnte modstridsbevis eller induktionsbevis.

Flere kilder

• Matematisk bevis på Wikipedia