Pascals trekant

Pascals trekant er opbygget af tal, og det gælder, at et tal, der står under to andre tal, er lig med deres sum. Lad os konstruere sådan en Pascals trekant og derefter vise, hvad den kan bruges til.

Sådan konstruerer du Pascals trekant

Langs siderne af vores trekant skriver vi kun enere, og indersiden af trekanten udfylder vi indtil videre med spørgsmålstegn:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Nu udregner vi det første spørgsmålstegn — vi lægger de to tal over det sammen og får 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

På samme måde udregner vi spørgsmålstegnene i den næste række. Først får vi 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Og så får vi 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Sådan fortsætter vi, og med hver ny række får vi en ny del af Pascals trekant:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Pascals trekant er naturligvis uendelig, vi kan hele tiden lave flere og flere rækker. Men det gælder altid, at vi har enere i kanterne, og inde i trekanten har vi tal, der er opstået som summen af tallene over det. For eksempel er tallet 15 i den sidste række opstået som summen af tallene 5 og 10 over det.

Grundlæggende egenskaber ved Pascals trekant

Den første grundlæggende egenskab har vi allerede nævnt: langs siderne af trekanten har vi altid enere:

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

I den »anden række« har vi altid alle de naturlige tal:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Har du i øvrigt lagt mærke til, at Pascals trekant er symmetrisk? Hver række er den samme, uanset om du læser den fra venstre mod højre eller fra højre mod venstre.

Trekanttal

I den tredje række har vi så tallene 1, 3, 6, 10, 15…

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Hvad er interessant ved dem? Disse tal kalder vi trekanttal. Forestil dig, at du havde nogle cirkler og ville lægge dem i en trekant. Hvor mange cirkler skulle du bruge? Se gerne på følgende figur:

Vi ser, at vi til en trekant med siden 1 skal bruge præcis én cirkel. Til siden med længden to skal vi bruge tre cirkler, til længden tre skal vi bruge seks cirkler, og til længden fire skal vi bruge ti cirkler. Antallet af cirkler, vi skal bruge, er altid et trekanttal, som vi finder i Pascals trekant.

Rækkesum

Hvad nu, hvis vi prøvede at lægge hver række i Pascals trekant sammen?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

Vi ser, at summen af hver række er dobbelt så stor som summen af den foregående række. Alle summerne er altså lig med en potens af tallet to. Hvis vi kalder den øverste række række nul, kan vi skrive, at summen af den n-te række i Pascals trekant er lig med 2ⁿ.

Primtal

Lad os kalde den øverste række i trekanten række nul. Så gælder det, at hvis vi vælger en n-te række, hvor n er et primtal, så vil alle tallene i denne række være delelige netop med tallet n (bortset fra enerne i kanten).

Lad os for eksempel tage n = 5. Tallet fem er et primtal. Den femte række ser sådan ud:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Hvert af de markerede tal er deleligt med tallet fem.

Binomialformlen

Du kender sikkert formlerne til at beregne (a + b)² eller (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Vi kan lægge mærke til, at koefficienterne ved de enkelte led svarer til tallene i Pascals trekant. Lad os for eksempel se på udtrykket

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Først skriver vi faktoren 1 foran leddene a³ og b³, så det bliver tydeligere:

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

Nu ser vi, at koefficienterne, som vi ganger leddene med, er de samme som den tredje række i Pascals trekant (hvis vi regner den øverste række som den nulte):

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

Dette fænomen har dog sin egen artikel om binomialformlen.