Udsagnslogik

Udsagnslogik (matematisk logik) er et udtryksmiddel i matematikken, som vi kan møde i forskellig terminologi og i alle mulige matematiske sætninger.

Hvad logik bruges til

Logik er en videnskab, der beskæftiger sig med slutninger, sandhed, bevisbarhed og modbevisbarhed. I logik handler det kun om meddelelsens form, vi interesserer os ikke for, hvad der konkret bliver meddelt, og vi interesserer os heller ikke for forskellige psykologiske fortolkninger og lignende ting.

Hvis vi for eksempel har sætningen »tallet 2 er lige og samtidig ulige«, kan vi slutte, at hele sætningen ikke er sand, fordi tallet 2 ikke er ulige. Det er den slags ting, som logikken generelt beskæftiger sig med.

Udsagn

Grundlaget for udsagnslogik er naturligvis udsagnet. Et udsagn er enhver udsagnssætning, hvis sandhedsværdi vi kan afgøre. Eksempler på enkle udsagn:

• København er Danmarks hovedstad.
• Det naturlige tal fem er et ulige tal.
• HTML er et programmeringssprog.
• To plus tre er seks.

Alle disse er udsagn. Uanset om de er sande (de to første) eller falske (de to sidste). Et udsagn er for eksempel ikke et spørgsmål eller en sætning, hvor vi ikke entydigt kan afgøre sandhedsværdien. Igen et eksempel:

• Bliver København også næste år Danmarks hovedstad?
• Farven grøn er den smukkeste.

Den første sætning kan ikke være et udsagn, fordi den er et spørgsmål, og ved den anden sætning kan vi ikke afgøre, om den er et sandt eller et falsk udsagn. En sådan sætning kalder vi en hypotese (formodning).

Klassisk matematisk logik kan ikke særlig godt håndtere vage sætninger som »Mads er høj« eller »Freja er en god sanger«. Sådanne udsagn håndteres bedre for eksempel i fuzzy logik, som er indrettet til vaghed.

Atomart udsagn

I det første afsnit havde vi eksemplet med udsagnet »tallet 2 er lige og samtidig ulige«. Et sådant udsagn kan vi kalde sammensat, fordi det i virkeligheden forbinder to kortere udsagn: »tallet 2 er lige« og »tallet 2 er ulige«. Disse to udsagn er så forbundet med det logiske konnektiv »og« eller også »og samtidig«.

Et atomart udsagn er således et udsagn, som vi ikke kan dele yderligere, i en vis forstand er det den simpleste konstatering. De foregående eksempler på udsagn var i virkeligheden atomare udsagn:

• København er Danmarks hovedstad.
• Det naturlige tal fem er et ulige tal.
• HTML er et programmeringssprog.
• To plus tre er seks.

Atomare udsagn vil vi herefter betegne med små bogstaver fra alfabetet, klassisk p, q, r, …, og vi kalder dem udsagnsvariable.

Logiske konnektiver

Matematisk logik arbejder almindeligvis med et bestemt sæt af logiske konnektiver. Blandt de grundlæggende er fire binære konnektiver:

• p ∧ q er konjunktion af udsagn, vi læser »udsagnet p og (samtidig) udsagnet q«
• p ∨ q er disjunktion af udsagn, vi læser »udsagnet p eller udsagnet q«
• p ⇒ q er implikation, vi læser »hvis udsagnet p, så udsagnet q«
• p ⇔ q er biimplikation, vi læser »udsagnet p hvis og kun hvis udsagnet q«

Konkrete eksempler på logiske konnektiver:

• I Odense centrum regner det og samtidig skinner solen. (konjunktion)
• I Odense centrum regner det eller solen skinner. (disjunktion)
• Firmaet Nordlys er det fedeste firma og Emil er den sejeste fyr. (konjunktion)
• Hvis du tager afføringsmiddel, så skal du snart på toi… (implikation)
• Hvis tallet x er deleligt med fire, så er det også deleligt med to. (implikation)
• Ida er smuk og samtidig klog. (konjunktion)
• Sangerinder er succesfulde, hvis og kun hvis de er smukke. (biimplikation)
• Hvis det ikke regner, bliver vi ikke våde. (implikation)
• Hvis Mads kan synge, så æder jeg min hat. (implikation)

Vi kender endnu et almindeligt logisk konnektiv: negation. Negation skrives med symbolet ¬p.

Formler

Ved hjælp af udsagnsvariable (atomare udsagn) og logiske konnektiver kan vi sammensætte et mere kompliceret udsagn, som vi vil kalde en formel. Alle eksemplerne i den foregående liste af sætninger var i virkeligheden formler, fordi vi havde to atomare formler, for eksempel »I Odense centrum regner det« og »solen skinner«, og forbandt dem ved hjælp af logiske konnektiver. I det første tilfælde forbandt vi dem med konnektivet »og samtidig« og fik formlen »I Odense centrum regner det og samtidig skinner solen«, i det andet tilfælde brugte vi »eller« og fik formlen »I Odense centrum regner det eller solen skinner«.

Formelt definerer vi en formel sådan her:

• Enhver udsagnsvariabel (atomart udsagn) er en formel (mere præcist kan vi sige, at der er tale om en atomar formel).
• Hvis A og B er formler, så er også ¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B) formler.

Definitionen giver mening: I det første punkt siger vi, at ethvert atomart udsagn også er en formel. Så hvis vi har to atomare udsagn, for eksempel »I Odense centrum regner det« og »solen skinner«, så har vi samtidig også to formler. Nu kan vi anvende det andet punkt og sammensætte en mere kompliceret formel for eksempel sådan her:

• I Odense centrum regner det og samtidig skinner solen.
• I Odense centrum regner det eller solen skinner.
• Hvis solen skinner i Odense centrum, så regner det.
• Solen skinner i Odense centrum, hvis og kun hvis det regner.

Formler behøver selvfølgelig ikke at være sande. Nu har vi fået endnu et sæt formler, så vi kan sammensætte endnu mere komplicerede formler. Hvis vi betegner A=»I Odense centrum skinner solen eller det regner.« (vi ved allerede, at det er en formel) og B=»der er en regnbue« (lad os igen antage, at det er i Odense centrum, så vi ikke skal gentage det hele tiden), så kan vi danne flere formler. Parenteserne i sætningerne markerer blot, hvilke dele konnektivet gælder for.

• A ∧ B: (I Odense centrum skinner solen eller det regner) og samtidig (der er en regnbue).
• A ∨ B: (I Odense centrum skinner solen eller det regner) eller (der er en regnbue).
• A ⇒ B: (Hvis solen skinner eller det regner i Odense centrum), så (er der en regnbue).
• A ⇔ B: (I Odense centrum skinner solen eller det regner) hvis og kun hvis (der er en regnbue).

Alt dette er formler. Så vi kan igen tage en af disse formler og knytte endnu en formel til den. Vi kan på den måde danne for eksempel monstret »Hvis solen skinner eller det regner eller der er en regnbue i Odense centrum, så skinner solen eller det regner, hvis og kun hvis der er en regnbue.«

I næste afsnit skal vi undersøge formlers sandhedsværdi.