Ziegenproblem

Das Ziegenproblem, auch Monty-Hall-Problem genannt, ist eine Wahrscheinlichkeitsaufgabe, die so manchen Menschen verwirrt.

Aufgabenstellung

Es gibt drei Türen. Der Moderator Monty Hall stellt hinter eine Tür ein Auto, hinter die anderen Türen eine Ziege. Deine Aufgabe ist es, die Tür zu finden und zu wählen, hinter der das Auto steht. In diesem Moment fordert er dich auf, eine der drei Türen zu wählen, wir nennen sie A, B und C. Du wählst eine Tür, sagen wir B. Dann kommt der Moderator ins Spiel, der von den übrigen Türen, d. h. A, C, eine Tür öffnet, hinter der sich eine Ziege verbirgt – er verrät dir also eine Tür, die sicher nicht zum Ziel führt. Sagen wir, er öffnet die Tür A.

Der Clou des ganzen Problems liegt im nächsten Schritt – der Moderator bietet dir an, dass du deine Wahl ändern kannst. Du hast zuerst die Tür B gewählt, dann hat dir der Moderator gesagt, dass hinter der Tür A kein Auto ist, und bietet dir an, dass du deine Wahl auf die Tür C ändern kannst. Du kannst aber auch bei deiner ursprünglichen Wahl B bleiben.

Wie entscheidest du dich? Ist die Chance größer, dass das Auto hinter der Tür B steht, oder hinter der Tür C? Oder ist es egal?

Lösung

Du hast drei Türen. Eine Tür ist aus dem Spiel, du hast also eigentlich nur noch zwei Türen. Hinter einer dieser Türen steht sicher das Auto. Über die zwei verbleibenden Türen weißt du nichts, einen weiteren Hinweis hast du nicht. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also natürlich bei beiden Türen 50 %.

So ähnlich denkt ein großer Teil der Leute, also ärgere dich nicht, wenn du das auch gedacht hast. Die Lösung ist aber natürlich falsch :-).

Richtige Lösung

Es lohnt sich, deine Wahl auf die Tür zu ändern, die der Moderator nicht ausgeschlossen hat. Um das zu verstehen, können wir die Wahrscheinlichkeiten von Anfang an aufschreiben. Wenn du zum ersten Mal eine Tür wählst, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass gerade hinter ihr das Auto steht, 1/3. Wir haben keinen weiteren Hinweis, die Wahrscheinlichkeit ist also gleichmäßig verteilt, 1/3 für jede Tür.

Wenn du also die Tür B wählst, hast du die Chance 1/3, dass das Auto dahinter steht. Zugleich beträgt die Wahrscheinlichkeit 2/3, dass sich das Auto hinter der Tür A oder C befindet. Es ist also wahrscheinlicher, dass sich das Auto hinter einer Tür befindet, die wir nicht gewählt haben. Das ist wichtig.

Im nächsten Schritt kommt der Moderator ins Spiel und öffnet eine der Türen, hinter denen kein Auto steht. Der Moderator öffnet die Tür A. Hinter der Tür A ist also kein Auto. Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit 2/3? Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter der Tür A oder C steht, 2/3 beträgt, und zugleich wissen wir, dass es nicht hinter der Tür A steht. Die Wahrscheinlichkeit 2/3 geht somit auf die Tür C über. Die Chance, dass das Auto hinter der Tür C steht, beträgt 2/3.

Unsere Chance bei der Tür B bleibt aber unverändert, sie hat sich in keiner Weise geändert. Wir haben also eine Chance von 1/3, dass das Auto hinter der Tür B steht, die wir gewählt haben, und eine Chance von 2/3, dass es hinter der Tür C steht, auf die wir unsere Wahl ändern können. Es ist also vernünftig, die Wahl zu ändern.

Mehr Türen

Das Beispiel lässt sich vielleicht besser verstehen, wenn wir die Anzahl der Türen erhöhen und die Aufgabe so abwandeln: Es seien zehn Türen gegeben. Zu Beginn wählt der Kandidat eine Tür, und der Moderator öffnet alle Türen außer der, die wir gewählt haben, und außer der, hinter der das Auto steht. Die Aufgabenstellung ist praktisch dieselbe wie im vorherigen Beispiel, nur dass der Moderator dort, als er alle Türen öffnete, nur eine Tür öffnete, weil er mehr nicht öffnen konnte.

Zu Beginn wählst du die Tür 1. Die Chance, dass dahinter das Auto steht, beträgt 1/10. Mit der Wahrscheinlichkeit 9/10 steht das Auto hinter einer anderen Tür. Dann entfernt der Moderator 8 Türen, hinter denen sicher kein Auto steht, und es bleiben dir wieder nur zwei Türen. Die Chance, dass das Auto hinter der Tür steht, die dir der Moderator gelassen hat, beträgt 9/10, während die Chance, dass es hinter deiner gewählten Tür steht, weiterhin 1/10 beträgt.

Weitere Quellen

• Wikipedia