Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses sagt uns, wie groß die Chance ist, dass das Ereignis eintritt. Ein typisches Beispiel ist der Wurf eines klassischen Spielwürfels. Wir können fragen: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Fünf fällt?“ Die Wahrscheinlichkeit geben wir entweder als Zahl aus dem Intervall [0; 1] oder in Prozent an, also von 0 % bis 100 %.

Zugehörige Definitionen

Von jeder wiederholbaren Tätigkeit, die vom Zufall abhängt, sagen wir, dass es sich um ein Zufallsexperiment handelt. Zum Beispiel ist der Wurf eines Würfels oder die Ziehung beim Lotto „6 aus 49“ ein Zufallsexperiment. Außerdem brauchen wir die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments – das sind alle Möglichkeiten, die bei dem jeweiligen Zufallsexperiment eintreten können. Auf dem Würfel können zum Beispiel die Zahlen von eins bis sechs fallen, die Menge aller möglichen Ergebnisse, die wir mit Ω (Omega) bezeichnen, sähe für den Würfel also so aus: Ω= {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Beim Lotto wären es alle Kombinationen, die fallen können.

Jede Teilmenge A ⊆ Ω nennen wir ein (Zufalls-)Ereignis. Das Ereignis „Auf dem Würfel fällt eine gerade Zahl“ würden wir zum Beispiel als A = {2; 4; 6} schreiben. Das Ereignis „Auf dem Würfel fällt eine Zahl größer als fünf“ würden wir als A = {6} schreiben und so weiter. Wenn wir würfeln (= das Experiment durchführen) und auf dem Würfel die Zahl x fällt, dann sagen wir, falls x ∈ A gilt, dass das Ereignis eingetreten ist, andernfalls sagen wir, dass es nicht eingetreten ist. Bleiben wir bei dem Ereignis „Auf dem Würfel fällt eine gerade Zahl“ und es fällt x = 2, dann gilt x ∈ A, also 2 ∈ {2; 4; 6}, und das Ereignis ist eingetreten.

Es gibt zwei besondere Arten von Ereignissen: das sichere und das unmögliche Ereignis. Ein sicheres Ereignis liegt vor, wenn es in jedem Experiment eintritt, was bedeutet, dass A = Ω. Bei Würfeln wäre das das Ereignis „Es fällt eine Zahl kleiner als 7“. Das fällt ganz sicher. Das Gegenteil ist das unmögliche Ereignis, es würde so aussehen: A = ∅, und in Worten z. B. „Auf dem Würfel fällt ein Blumentopf“. Nun ja, ein Blumentopf kann uns beim Würfeln vom Tisch fallen, aber ganz sicher fällt uns kein Blumentopf auf dem Würfel, denn dort gibt es nur die Zahlen 1 bis 6.

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sagt uns, wie sehr wir erwarten können, dass das Ereignis eintritt. Wir ahnen wohl alle, dass auf dem Würfel eher irgendeine gerade Zahl fällt als genau die Fünf. Die Wahrscheinlichkeit übersetzt diese Ahnung in exakte Zahlen. Zuerst nennen wir einige Voraussetzungen, die wir brauchen werden.

Für ein Zufallsexperiment gelte:

• Es gibt nur endlich viele mögliche Ergebnisse (d. h. Ω ist eine endliche Menge).
• Zwei Ergebnisse können nicht gleichzeitig eintreten (d. h. wir können auf dem Würfel nicht die Zahl 3 und zugleich 6 werfen).
• Jedes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich (d. h. wir haben die gleiche Chance, auf dem Würfel die Zahl 4 zu werfen wie die Zahl 6 oder 1).

Die ersten beiden Bedingungen sind ziemlich natürlich, die letzte ist leicht einschränkend, aber vorerst kommen wir damit aus. Dann können wir sagen, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, die wir mit P(A) bezeichnen, gleich

$$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}$$

ist.

Mit anderen Worten: Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl aller Ergebnisse. (Die senkrechten Striche in der vorigen Formel bedeuten die Größe einer Menge.) Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln, wäre also gleich:

$$P(\text{gerade})=\frac{|\{2;4;6\}|}{|\{1;2;3;4;5;6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Oft geben wir die Wahrscheinlichkeit in Prozent an – dazu nehmen wir die berechnete Wahrscheinlichkeit, multiplizieren sie mit hundert und fügen das Prozentzeichen hinzu: 0,5 · 100 % = 50 %. Eine Wahrscheinlichkeit von fünfzig Prozent sagt uns eigentlich, dass wir die gleiche Chance haben, dass eine gerade Zahl fällt, wie dass keine fällt. Das ergibt Sinn, wenn man bedenkt, dass wir auf dem Würfel drei gerade und drei ungerade Zahlen haben.

Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1, das unmögliche 0. Warum? Wir haben gesagt, dass für ein sicheres Ereignis J gilt J = Ω und für ein unmögliches Ereignis N gilt N = ∅. Setzen wir diese Ereignisse in die Formel ein, erhalten wir:

$$P(J)=\frac{|\mathrm{\Omega }|}{|\mathrm{\Omega }|}=1;P(N)=\frac{|\mathrm{\varnothing }|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{0}{|\mathrm{\Omega }|}=0.$$

Gelöste Beispiele

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf dem Würfel die Zahl fünf fällt? Das ist einfach, die Menge aller günstigen Ergebnisse ist nur A = {5}, die Menge aller Ergebnisse ist weiterhin Ω= {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Wir setzen in die Formel ein:

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1;2;3;4;5;6\}|}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf dem Würfel eine durch drei teilbare Zahl fällt? Wir müssen herausfinden, welche Zahlen auf dem Würfel durch drei teilbar sind. Das sind nur die Zahlen 3 und 6, die Menge der günstigen Ergebnisse ist also B = {3; 6}. Dann wie gewohnt:

   $$P(B)=\frac{|\{3;6\}|}{|\{1;2;3;4;5;6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\mathrm{33,333}\dots \mathrm{\%}$$

3. Jetzt versuchen wir, mit zwei Würfeln gleichzeitig zu würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf beiden Würfeln eine Sechs fällt? Zuerst müssen wir Ω berechnen, d. h. die Menge aller Ergebnisse. Wir müssen alle Möglichkeiten zählen, die eintreten können. Wenn auf dem ersten Würfel die Zahl 1 fällt, kann auf dem zweiten die Zahl 1 bis 6 fallen. Damit haben wir sechs Möglichkeiten gefunden. Wenn auf dem ersten Würfel die Zahl 2 fällt, können auf dem zweiten Würfel wieder die Zahlen 1 bis 6 fallen; damit haben wir weitere sechs Möglichkeiten gefunden. Und so weiter für alle Zahlen, die auf dem ersten Würfel fallen können. Alle Möglichkeiten sehen dann so aus:

   $$\begin{array}{rcl}& \mathrm{\Omega }=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ & & \dots \\ & & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}$$

   Wir haben insgesamt sechs Zeilen und in jeder Zeile sechs Möglichkeiten. Insgesamt erhalten wir 6 · 6 = 36 Möglichkeiten, die auf den Würfeln fallen können. Wie viele davon liegen zugleich in der Menge der günstigen Ergebnisse? Nur eine Möglichkeit, nämlich (6, 6), denn wir wollen, dass zwei Sechsen fallen. Wir erhalten so die Wahrscheinlichkeit:

   $$P(C)=\frac{|\{(6,6)\}|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass uns beim Wurf mit zwei Würfeln auf beiden dieselbe Zahl fällt? Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse ist weiterhin 36, siehe das vorige Beispiel. Wie viele günstige Ergebnisse gibt es aber? Nur in sechs Fällen fällt auf beiden Würfeln dieselbe Zahl: D = {(1, 1); (2, 2); …; (6, 6)}. Wir setzen in die Formel ein:

   $$P(D)=\frac{|D|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass uns beim Wurf mit zwei Würfeln, einem weißen und einem schwarzen, auf dem weißen Würfel eine 3 und auf dem schwarzen Würfel eine 5 fällt? Die Größe von Ω ist weiterhin 36. Wie sieht die Menge der günstigen Ergebnisse E aus? Sie enthält genau nur die Möglichkeit (3, 5), die Wahrscheinlichkeit ist also gleich

   $$P(E)=\frac{|E|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass uns beim Wurf mit zwei Würfeln, einem weißen und einem schwarzen, die Zahlen 3 und 5 fallen? Dieses Beispiel ist dem vorigen ähnlich, wir verlangen nur nicht, dass die Zahl 3 auf dem weißen und die Zahl 5 auf dem schwarzen Würfel fällt. Auf einem der Würfel muss eben die 3 fallen und auf dem übrigen die Zahl 5. Dadurch erhalten wir mehr Möglichkeiten: Außer (3, 5) haben wir auch die Möglichkeit (5, 3). Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses F ist also gleich:

   $$P(F)=\frac{|F|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=\mathrm{5,555}\dots \mathrm{\%}$$

7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass uns beim Wurf mit zwei Würfeln mindestens eine Sechs fällt? Wir gehen schrittweise vor: Wenn auf dem ersten Würfel eine Sechs fällt, können auf dem zweiten Würfel die Zahlen 1 bis 5 fallen. Das sind fünf Möglichkeiten. Wenn auf dem zweiten Würfel eine Sechs fällt, können auf dem ersten Würfel die Zahlen 1 bis 5 fallen. Das sind weitere fünf Möglichkeiten. Und schließlich kann auf beiden Würfeln eine Sechs fallen – das ist eine weitere Möglichkeit. Insgesamt haben wir also 5 + 5 + 1 = 11 Möglichkeiten. Die Menge der günstigen Ergebnisse G sieht also so aus: G = {(6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (1, 6); (2, 6); (3, 6); (4, 6); (5, 6); (6, 6)}. Wir erhalten die Wahrscheinlichkeit:

   $$P(G)=\frac{|G|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{11}{36}=\mathrm{30,555}\dots \mathrm{\%}$$

8. In einer Klasse sind 30 Schüler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler Jonas im Geschichtsunterricht aufgerufen wird, wenn die Lehrerin pro Stunde immer zwei Schüler abfragt und bisher noch niemand aufgerufen wurde? Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen wir bestimmen, wie viele verschiedene Schülerpaare es gibt und in wie vielen davon Jonas einer der beiden ist. Weil es nicht darauf ankommt, in welcher Reihenfolge die Lehrerin die Schüler aufruft, verwenden wir Kombinationen.

   Jetzt wird es einfach. Wir haben insgesamt 30 Schüler und fragen, wie viele verschiedene Paare wir aus ihnen bilden können. Das führt uns zum Binomialkoeffizienten

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2})=435$$

   Und in wie vielen Paaren ist auch Jonas? Wenn einer der beiden Jonas ist, bleiben insgesamt 29 Schüler, mit denen Jonas ein Paar bilden kann (mit sich selbst kann er kein Paar bilden, deshalb 30-1=29). Jetzt kennen wir die Anzahl aller Möglichkeiten und die Anzahl der günstigen Möglichkeiten, also setzen wir in die Formel ein:

   $$P(H)=\frac{29}{435}=\mathrm{0,066}6\dots =\mathrm{6,666}\dots \mathrm{\%}$$

   Anmerkung: Die Anzahl aller Paare können wir auch ohne Kombinationen berechnen. Wie könnten wir alle Paare bilden, wenn wir eine Klasse mit 30 Schülern haben? Indem wir immer einen Schüler nehmen und nacheinander alle anderen zu ihm hinzufügen. Das heißt, wir nehmen zum Beispiel Martin und fügen ihm alle anderen Schüler als Partner hinzu, wir bilden also 29 Paare. So machen wir es mit jedem Schüler, also mit allen 30 Schülern. Insgesamt erhalten wir 30 · 29 = 870 Paare. Allerdings haben wir jedes Paar doppelt, einmal haben wir das Paar (Martin, Jana) und ein zweites Mal (Jana, Martin) (je nachdem, ob gerade Martin derjenige war, dem der Rest der Klasse zugeordnet wurde, oder derjenige, der gerade Jana zugeordnet wurde). Dieses Ergebnis teilen wir also noch durch zwei und haben das Endergebnis: 870 / 2 = 435.

9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir aus einem Schuhschrank, in dem zwölf Paar Schuhe stehen, genau drei linke Schuhe ziehen? Das ist ein ziemlich lebensnahes Beispiel, das hast du bestimmt schon einmal wissen müssen. Wir beginnen damit, zu berechnen, wie viele verschiedene Dreiergruppen wir überhaupt aus dem Schuhschrank ziehen können. Dazu brauchen wir Kombinationen, denn es kommt nicht darauf an, in welcher Reihenfolge wir die Schuhe ziehen. Wir haben insgesamt 24 Schuhe und wollen 3 ziehen. Wir erhalten den Binomialkoeffizienten:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3})=2024$$

   Damit haben wir berechnet, dass es insgesamt 2024 verschiedene Kombinationen von drei Schuhen gibt, die wir aus dem Schuhschrank ziehen können. Jetzt müssen wir berechnen, welche Kombinationen günstig sind, d. h. welche Kombinationen von drei Schuhen nur linke Schuhe enthalten. Wir wissen, dass im Schuhschrank insgesamt 12 linke Schuhe stehen. Wir berechnen also nur, wie viele Kombinationen wir aus diesen 12 Schuhen bilden können. Das führt wieder zu einem Binomialkoeffizienten:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3})=220$$

   Es gibt also 220 Kombinationen, die immer nur linke Schuhe enthalten. Das ist alles, was wir wissen müssen, jetzt setzen wir nur noch in die Formel ein:

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=\mathrm{0,108}695\dots =\mathrm{10,869}5\dots \mathrm{\%}$$

   Wir haben also eine Chance von ungefähr zehn Prozent, dass wir drei Schuhe ziehen und alle für den linken Fuß sind.