Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz verallgemeinert die binomischen Formeln wie (a + b)² mithilfe kombinatorischer Methoden.

Motivation

Die Formeln zur Berechnung von (a + b)² oder (a + b)³ kennst du bestimmt:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Und die naheliegende Frage ist, ob sich diese Formeln auf eine beliebige natürliche Zahl n verallgemeinern lassen, d. h., ob man (a + b)ⁿ berechnen kann.

Herleitung

Natürlich geht das, und genau dazu dient der binomische Lehrsatz. Schauen wir uns an, wie diese Entwicklung für n = 4 und n = 5 weitergeht.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

Ein bestimmtes Muster solltest du schon erkennen. Haben wir den Term (a + b)ⁿ, beginnen wir auf der rechten Seite immer mit dem Glied aⁿ. Das zweite Glied enthält ebenfalls die Variable a, aber der Exponent ist um eins kleiner. Zum Beispiel haben wir bei der Entwicklung von (a + b)⁴ auf der rechten Seite im ersten Glied a⁴ und im zweiten a³. Jedes weitere Glied enthält die Variable a mit einem um eins kleineren Exponenten als das vorige Glied. Die Variable b dagegen wächst. Am Anfang haben wir die Variable b nicht, genauer gesagt haben wir sie, aber mit dem Exponenten null: b⁰ = 1. Im zweiten Glied hat b dann den Exponenten eins, danach zwei usw.

Dabei gilt die einfache Regel, dass die Summe der Exponenten immer gleich n sein muss. Betrachten wir die letzte Entwicklung von (a + b)⁵, dann ist zum Beispiel das dritte Glied 10a³ · b² und die Summe der Exponenten bei den Variablen a und b ist genau 5.

Als Letztes bleibt die Frage, wie die Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen) bei den einzelnen Gliedern aussehen. Du bemerkst bestimmt, dass diese Koeffizienten symmetrisch sind: Bei (a + b)⁴ haben wir die Koeffizienten 1, 4, 6, 4, 1, bei (a + b)⁵ haben wir: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Ich erinnere daran, dass a⁴ = 1 · a⁴ ist, deshalb schreibe ich dort die Eins, auch wenn ich sie in den Formeln nicht ausdrücklich angebe. Einen weiteren Zusammenhang zeigen wir am pascalschen Dreieck.

Pascalsches Dreieck

Das pascalsche Dreieck ist ein praktisches Hilfsmittel beim Berechnen der Entwicklung nach dem binomischen Lehrsatz. Das pascalsche Dreieck besteht aus Zahlen, und es gilt, dass eine Zahl, die unter zwei anderen Zahlen steht, gleich ihrer Summe ist. Das klingt sperrig, aber am Dreieck selbst wird es klar:

Schau dir zum Beispiel die Zahl vier an. Über dieser Zahl stehen die Zahlen 1 und 3. Und die Summe 1+3 ergibt genau 4. Ähnlich ist es bei den übrigen Zahlen.

Und wie nutzen wir das pascalsche Dreieck? Wenn du dir die Zahlen in den einzelnen Zeilen ansiehst, wirst du feststellen, dass sie stark an die Koeffizienten der resultierenden binomischen Entwicklung erinnern. Zum Beispiel haben wir bei (a + b)² die Koeffizienten 1, 2, 1, das ist genau die zweite Zeile. Bei (a + b)⁴ haben wir die Koeffizienten 1, 4, 6, 4, 1, das ist genau die vierte Zeile. Wenn wir (a + b)ⁿ berechnen müssen, genügt es, sich die n-te Zeile des pascalschen Dreiecks anzusehen.

Definition des binomischen Lehrsatzes

Formal lautet der binomische Lehrsatz so:

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in \mathbb{N}$$

Die Summe berechnen wir von null bis einschließlich n. Die Anzahl der Summanden ist also n + 1. Der Ausdruck in der Klammer ist der Binomialkoeffizient, der aus der Kombinatorik stammt und die Anzahl der verschiedenen Kombinationen angibt, aus denen wir das jeweilige Glied der binomischen Entwicklung erhalten können. Der Rest sind nur Variablen mit den passenden Exponenten. Beachte, dass die Summe der Exponenten tatsächlich gleich n ist: n − k + k = n.

Beispiele

Ein einfaches Beispiel: Berechne mithilfe des binomischen Lehrsatzes (a + 2b)⁴. Als Erstes schauen wir im pascalschen Dreieck in die vierte Zeile. Sie sagt uns, dass die Koeffizienten die Form 1, 4, 6, 4, 1 haben. Jetzt müssen wir nur noch nacheinander die Exponenten ergänzen. Im ersten Glied steht nur a⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

Im zweiten Glied sind die Exponenten auf das Paar 3, 1 verteilt, wir erhalten also a³(2b)¹. Die Potenz mit Exponent eins ändert am Term nichts, wir können also a³2b schreiben. Der Koeffizient beim zweiten Glied ist 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

Das dritte Glied hat die Exponenten 2, 2. Hier ist etwas Vorsicht geboten, wir potenzieren das ganze 2b, also so: (2b)², das ist gleich: (2b)² = 4b². Wir schreiben es mit dem Koeffizienten 6 in die Entwicklung:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

Das vierte Glied hat die Form a(2b)³. Nach dem Potenzieren erhalten wir a8b³. Wir schreiben es mit dem Koeffizienten 4 dazu:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

Und das letzte Glied ist dann nur noch (2b)⁴ = 16b⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Jetzt müssen wir das nur noch leicht umformen. Im Glied 4a³2b können wir die Zwei an den Anfang des Glieds stellen und 2 · 4 = 8 multiplizieren. So erhalten wir 8a³b. Machen wir das auch bei den übrigen Gliedern, erhalten wir das Ergebnis:

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

Beachte bitte, dass die Koeffizienten jetzt nicht mehr mit den Zahlen im pascalschen Dreieck übereinstimmen.