Grundlagen der Statistik

Die Statistik ist eine Wissenschaft, die reale Daten untersucht und sie mithilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschreibt.

Eigener Bereich für Statistik

Dies ist ein alter und veralteter Artikel. Die Statistik hat inzwischen einen eigenen Bereich mit dem Einführungsartikel Grundbegriffe der Statistik.

Grundbegriffe

In der Statistik arbeitet man mit einigen Grundbegriffen, die wir hier beschreiben.

Zuerst ist da der Datensatz, das ist eine endliche Menge von Daten, die wir untersuchen wollen. Die Daten können allgemein sein, im Grunde kann es alles Mögliche sein. Wenn du das durchschnittliche Gehalt in Deutschland untersuchen willst, ist der Datensatz die Menge aller Menschen in Deutschland. Die Anzahl der Elemente im Datensatz heißt Stichprobenumfang. Der Umfang des von uns festgelegten Datensatzes wäre also gleich der Einwohnerzahl Deutschlands.

Weiter gibt es den Begriff Merkmalsträger, das ist ein konkretes Element des Datensatzes. In unserem Fall wäre ein Merkmalsträger ein bestimmter Mensch.

Schließlich haben wir das Merkmal, das ist das, was wir messen wollen. In unserem Beispiel wäre das Merkmal eben das Gehalt. Ein Merkmal kann entweder qualitativ oder quantitativ sein. Ein quantitatives (Quantität = Menge, Anzahl) Merkmal lässt sich durch Zahlen ausdrücken (zum Beispiel eben das Gehalt, die Größe, die Anzahl der Kinder, …), ein qualitatives Merkmal lässt sich dagegen in Worten ausdrücken (Farbe, ja/nein, Beruf, …).

Häufigkeiten

Die Häufigkeit kann entweder relativ oder absolut sein und gibt an, wie oft Werte eines Merkmals im Datensatz vorkommen – entweder absolut oder relativ zur Gesamtzahl der Elemente des Datensatzes.

Wichtig ist, dass wir bei der Berechnung der Häufigkeit das Merkmal anwenden müssen. Wollten wir nämlich die absolute Häufigkeit eines Merkmalsträgers berechnen, müssten wir zwangsläufig entweder auf die Zahl null oder eins kommen, denn der Datensatz ist eine Menge und eine Menge lässt als solche nicht zu, dass mehrere gleiche Elemente in ihr enthalten sind.

Die absolute Häufigkeit eines Merkmalswerts z gibt also die Anzahl der Vorkommen von z im Datensatz S an. Beispiel: Nehmen wir eine Klasse mit zehn Schülern. Jeder Schüler hat im Zeugnis eine Mathematiknote von Eins bis Fünf bekommen. Die Noten hält die folgende Tabelle fest:

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 2& 5& 3& 2& 1& 1& 2& 4& 1& 3\end{array}$$

Anmerkung: Der Datensatz wäre für dieses Beispiel die Menge der zehn Mitschüler, etwa

$$S=\{\text{Max},\text{Anna},\text{Jonas},\dots \}$$

In der Tabelle steht der Einfachheit halber in der ersten Zeile eine Nummer des Schülers; in der ersten Zeile stehen also die Merkmalsträger, d. h. die Elemente des Datensatzes. In der zweiten Zeile stehen die Werte des Merkmals, d. h. die Werte „Mathematiknote im Zeugnis“ des jeweiligen Schülers.

Die absolute Häufigkeit des Merkmalswerts (der Zeugnisnote) z = 3 wäre also gleich zwei, nur zwei Schüler haben im Zeugnis eine Drei bekommen (das sind die „Schüler“ 3 und 10). Die absolute Häufigkeit des Merkmalswerts z = 1 wäre drei (die „Schüler“ 5, 6 und 9).

Die relative Häufigkeit gibt an, wie viel Prozent der Werte des Merkmals im Datensatz gleich dem Wert z sind. Die relative Häufigkeit des Merkmalswerts z berechnen wir so:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

wobei z_a die absolute Häufigkeit des Merkmalswerts z ist und |S| der Umfang des Datensatzes, d. h. die Anzahl der Elemente. Die relative Häufigkeit der Note Drei wäre also:

$$r_3=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

Der Umfang unseres Datensatzes ist zehn, weil wir zehn Schüler in der Klasse haben. Die Angabe in Prozent erhalten wir, indem wir mit hundert multiplizieren, wir bekämen also 20 %. Die relative Häufigkeit der Eins wäre

$$r_1=\frac{3}{10}.$$

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel, oft auch nur Mittelwert, ist der Durchschnitt aller Werte im Datensatz. Mit dem Wort Wert ist dabei der Wert nach Anwendung des Merkmals gemeint. Den Mittelwert berechnen wir, indem wir alle Werte addieren und durch die Anzahl der Werte im Datensatz dividieren. Also ungefähr so:

$$p_a=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Ich habe auch eine Darstellung mit der Summe hinzugefügt, falls sie dir übersichtlicher erscheint. Der vorige Ausdruck mit dem Bruch genügt aber. Die Werte x stehen für alle Werte unseres Datensatzes.

Beispiel: Nehmen wir die Daten aus der vorigen Tabelle und berechnen die durchschnittliche Note pro Schüler.

$$p_a=\frac{2+5+3+2+1+1+2+4+1+3}{10}=\frac{24}{10}=2,4$$

In unserer Klasse ist die Durchschnittsnote 2,4. Wie du siehst, kann uns das arithmetische Mittel auch einen Wert liefern, der gar nicht gültig ist – du kannst keine Note 2,4 vergeben.

Das arithmetische Mittel ist außerdem schlecht brauchbar, wenn ein Teil der Daten einen grundlegend anderen Wert hat als der Rest. Haben wir also einen Datensatz mit den Werten 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75, ergibt sich das arithmetische Mittel zu

$$p_a=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13,14.$$

Wir sehen, dass der resultierende Wert weit von allen Werten im Datensatz entfernt ist. Er ist um ein Vielfaches größer als die ersten sechs Zahlen und um ein Vielfaches kleiner als der letzte Wert. Das ist ein Problem, das zum Beispiel der Median lösen kann, siehe unten. Immerhin weißt du jetzt, warum zwei Drittel der Menschen das Durchschnittsgehalt nicht erreichen – es gibt eine kleine Gruppe von Menschen mit sehr hohen Gehältern, die das arithmetische Mittel nach oben ziehen.

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel wird ähnlich wie das arithmetische Mittel berechnet, nur wird statt der Addition die Multiplikation verwendet und statt der Division die Wurzel. Das geometrische Mittel berechnen wir also so:

$$p_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Das geometrische Mittel kann als Indikator für Wachstum verwendet werden. Nehmen wir als Beispiel an, der Preis eines Produkts ist im Laufe eines Jahres um 10 % gestiegen, im nächsten Jahr um 15 % und im darauffolgenden um 5 %. Der ursprüngliche Preis c hatte nach diesen drei Jahren also den Wert

$$1,1\cdot 1,15\cdot 1,05c=\mathrm{1,328}25c.$$

Das geometrische Mittel dieser Faktoren wäre:

$$p_g=\sqrt[3]{1,1\cdot 1,15\cdot 1,05}\approx \mathrm{1,099}2419$$

Was bedeutet das? Würde der Preis jedes Jahr genau mit der Zahl 1,0992419 multipliziert (d. h. um etwa 9,92 % erhöht), wäre der Endpreis derselbe:

$$\mathrm{1,099}{2419}^3\approx \mathrm{1,328}25$$

Modalwert und Median

Der Modalwert eines Merkmals ist der Wert mit der höchsten Häufigkeit, er wird mit Mod(x) bezeichnet. Kehren wir zum Beispiel mit den Noten zurück: Dort sind die Modalwerte 1 und 2, weil sie am häufigsten vorkommen – beide haben die absolute Häufigkeit 3.

Der Median ist der mittlere Wert, wir bezeichnen ihn mit Med(x). Wenn wir die Werte in eine monoton steigende Folge ordnen können

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

dann ist der Median der Wert, der in der Mitte dieser Folge steht. Der mittlere Wert unterscheidet sich dabei, je nachdem, ob die Folge eine ungerade oder eine gerade Anzahl von Gliedern hat. Bei einer ungeraden Anzahl ist der Median das Element an der Position

$$\text{Med}(x)=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Hat die Folge eine gerade Anzahl von Gliedern, gibt es kein Element, das genau in der Mitte steht (Beispiel: Die Folge 1, 2, 3, 4 hat einfach kein mittleres Element). Deshalb nehmen wir den Mittelwert der beiden mittleren Werte (den Mittelwert der Werte 2 und 3). Die Formel für gerades n lautet also:

$$\text{Med}(x)=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Kehren wir zu dem Beispiel zurück, das das schlecht angewandte arithmetische Mittel veranschaulicht hat. Wir hatten einen Datensatz mit den Werten s=1, 3, 2, 5, 4, 2, 75. Der Modalwert wäre gleich zwei, das ist die einzige Zahl, die sich wiederholt. Zur Berechnung des Medians ordnen wir die Zahlen zu einer Folge:

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

Die Folge hat sieben Glieder, das mittlere Element ist also a₄ und das ist gleich drei.