Εξισώσεις δευτέρου βαθμού

Εξίσωση δευτέρου βαθμού είναι μια εξίσωση που περιέχει έναν άγνωστο υψωμένο στο τετράγωνο. Αν η εξίσωση περιέχει άγνωστο υψωμένο σε δύναμη μεγαλύτερη του δύο, τότε δεν πρόκειται πια για εξίσωση δευτέρου βαθμού.

Περιγραφή της εξίσωσης δευτέρου βαθμού

Η γενική μορφή της εξίσωσης δευτέρου βαθμού είναι η εξής:

$$\alpha x^2+\beta x+\gamma =0$$

Οι συντελεστές α, β, γ είναι πραγματικοί αριθμοί και ο α είναι διάφορος του μηδενός. Άλλες ονομασίες:

• ο όρος α x² λέγεται δευτεροβάθμιος όρος,
• ο όρος β x λέγεται πρωτοβάθμιος όρος,
• ο όρος γ λέγεται σταθερός όρος.

Κάθε εξίσωση δευτέρου βαθμού μπορεί να γραφτεί στη γενική μορφή με ισοδύναμες μετατροπές ή με άλλες μετατροπές. Ένα παράδειγμα δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι η εξής:

$$3x^2-6x+8=0.$$

Πιο δύσκολο είναι να πούμε αν και αυτή είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού:

$$(x+1)\cdot (x+2)=7.$$

Πουθενά δεν φαίνεται το x² και στο δεύτερο μέλος δεν υπάρχει μηδέν. Το δεύτερο μέλος το διορθώνουμε εύκολα, αφαιρούμε το επτά και παίρνουμε τη μορφή

$$(x+1)\cdot (x+2)-7=0.$$

Ακόμα δεν έχουμε x². Κάνουμε τις πράξεις στις παρενθέσεις και παίρνουμε:

$$x^2+2x+x+2-7=0$$

Τώρα έχουμε το x². Μετά την αναγωγή των ομοίων όρων παίρνουμε επιτέλους τη γενική μορφή της εξίσωσης δευτέρου βαθμού:

$$x^2+3x-5=0.$$

Τι γίνεται με το επόμενο παράδειγμα, είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού; Μπορεί να γραφτεί στη γενική μορφή;

$$x^2+3x+\frac{4}{x}=0$$

Η απάντηση είναι ότι δεν μπορεί. Αν πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με τη μεταβλητή x, για να απαλλαγούμε από τη μεταβλητή στον παρονομαστή του κλάσματος, παίρνουμε:

$$x^3+3x^2+4=0.$$

Τώρα έχουμε το x³, που δεν μπορεί να υπάρχει σε εξίσωση δευτέρου βαθμού.

Υπάρχουν ειδικοί τύποι εξισώσεων δευτέρου βαθμού, ανάλογα με την τιμή των συντελεστών α, β και γ.

Τιμές των συντελεστών

Για τα επόμενα κεφάλαια είναι απολύτως κρίσιμο να μπορείς να βρίσκεις τους επιμέρους συντελεστές α, β και γ. Ας ξεκινήσουμε με ένα απλό παράδειγμα. Βρες τους συντελεστές της εξίσωσης 3x² + 4x + 7 = 0. Εδώ είναι εύκολο, α = 3, β = 4 και γ = 7.

Τι γίνεται, για παράδειγμα, με την εξίσωση 3x² − x + 2 = 0; Οι τιμές α και γ είναι σαφείς, α = 3 και γ = 2, αλλά τι γίνεται με το β; Λάθος θα ήταν να γράψουμε β = 1. Φαντάσου ότι μπροστά από το x υπάρχει η μονάδα, ως εξής: 3x² − 1x + 2 = 0. Τώρα φαίνεται πιο καθαρά ότι β = −1.

Ένα ακόμα ενδιαφέρον παράδειγμα: x² − 3 = 0. Και εδώ μπορεί να προκύψει πρόβλημα με τον συντελεστή β, οι υπόλοιποι είναι προφανείς: α = 1 και γ = −3. Ποια είναι η τιμή του συντελεστή β; Ο πρωτοβάθμιος όρος δεν εμφανίζεται καθόλου σε αυτή την εξίσωση, είναι το ίδιο σαν να είχαμε γράψει την εξίσωση στη μορφή x² + 0x − 3 = 0. Άρα ισχύει ότι β = 0.

Ένα πιο σύνθετο παράδειγμα:

$$5x^2+3x+\pi \cdot x=0$$

Σε αυτή την εξίσωση υπάρχουν δύο παγίδες. Δεν υπάρχει σταθερός όρος, άρα γ = 0. Ο δευτεροβάθμιος όρος είναι σαφής, άρα α = 5. Αλλά τι γίνεται με το καταραμένο β; Μπορούμε να επεξεργαστούμε λίγο ακόμα την εξίσωση, βγάζουμε κοινό παράγοντα τη μεταβλητή x από τους δύο όρους ως εξής:

$$5x^2+(3+\pi )x=0$$

Ο συντελεστής β είναι πάλι αυτό που βρίσκεται «μπροστά» από τη μεταβλητή x, άρα ολόκληρη η παρένθεση είναι ίση με τον συντελεστή β = (3 + π). Μια παρόμοια εξίσωση:

$$-x^2+4x+1-\sqrt{2}=0$$

Οι δύο πρώτοι συντελεστές είναι προφανείς: α = −1 και β = 4. Ποιος είναι ο σταθερός όρος; Είναι οι υπόλοιποι όροι, που δεν περιέχουν x. Άρα ισχύει ότι $\gamma =1-\sqrt{2}$. Μη φοβάσαι την τετραγωνική ρίζα, δεν δαγκώνει, είναι ένας κανονικός αριθμός.

Και ποιες είναι οι τιμές σε αυτή την εξίσωση; (x + 1)(x + 2) = −2x. Πρώτα πρέπει να φέρουμε την εξίσωση στη γενική μορφή. Κάνουμε τις πράξεις στις παρενθέσεις και παίρνουμε

$$x^2+3x+2=-2x$$

και τέλος προσθέτουμε στην εξίσωση 2x, για να πάρουμε μηδέν στο δεύτερο μέλος:

$$x^2+5x+2=0.$$

Οι τιμές είναι πλέον προφανείς: α = 1, β = 5, γ = 2.

Ελλιπής εξίσωση χωρίς πρωτοβάθμιο όρο

Αν β = 0, πρόκειται για ελλιπή εξίσωση δευτέρου βαθμού χωρίς πρωτοβάθμιο όρο, που λύνεται παρόμοια με την εξίσωση πρώτου βαθμού. Αυτή η εξίσωση έχει λοιπόν τη γενική μορφή:

$$\alpha x^2+\gamma =0$$

Επειδή β = 0, ολόκληρος ο πρωτοβάθμιος όρος β x φεύγει από την εξίσωση, αφού 0x = 0. Την εξίσωση τη λύνουμε αφαιρώντας πρώτα τον σταθερό όρο. Δηλαδή αφαιρούμε και από τα δύο μέλη το γ. Έτσι παίρνουμε:

$$\begin{array}{rcl}\alpha x^2+\gamma & =& 0/-\gamma \\ \alpha x^2& =& -\gamma \end{array}$$

Στη συνέχεια διαιρούμε την εξίσωση με τον αριθμό α. Παίρνουμε τη μορφή:

$$x^2=\frac{-\gamma }{\alpha }$$

Και τέλος παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα και στα δύο μέλη. Για να γίνει αυτό, το κλάσμα στο δεύτερο μέλος δεν πρέπει να είναι αρνητικό, γιατί αρνητικός αριθμός δεν έχει τετραγωνική ρίζα. Παίρνουμε το αποτέλεσμα:

$$x_1=\sqrt{\frac{-\gamma }{\alpha }},x_2=-\sqrt{\frac{-\gamma }{\alpha }}$$

Πρόσεξε ότι παίρνουμε δύο λύσεις, μία θετική και μία αρνητική. Αυτό θα φανεί καλύτερα σε ένα παράδειγμα. Θα λύσουμε την εξίσωση

$$2x^2-8=0.$$

Σύμφωνα με τη διαδικασία, πρώτα αφαιρούμε τον όρο γ. Πρόσεξε ότι ο όρος γ είναι σε αυτή την περίπτωση αρνητικός, άρα αφαιρούμε αρνητικό αριθμό, δηλαδή προσθέτουμε θετικό. Και στα δύο μέλη προσθέτουμε λοιπόν +8 (στόχος είναι να μεταφέρουμε το οκτώ στο δεύτερο μέλος). Παίρνουμε τη μορφή:

$$2x^2=8$$

Στη συνέχεια, σύμφωνα με τη διαδικασία, διαιρούμε την εξίσωση με τον αριθμό α, που είναι το δύο. Μετά τη διαίρεση παίρνουμε τη μορφή:

$$x^2=4$$

Τώρα παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα.

$$x_1=2,x_2=-2$$

Γιατί υπάρχει και το μείον δύο; Επειδή μείον δύο επί μείον δύο κάνει τέσσερα. Μπορούμε να δούμε και τη γραφική λύση: βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2x² − 8 τέμνει τον άξονα x'x ακριβώς στα σημεία x₁ = −2 και x₂ = 2.

Λύσε την εξίσωση

$$80x^2-5=0.$$

Προσθέτουμε το πέντε και στα δύο μέλη:

$$80x^2=5$$

Διαιρούμε με το 80:

$$x^2=\frac{5}{80}$$

Απλοποιούμε το κλάσμα:

$$x^2=\frac{1}{16}$$

Παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα:

$$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{4}$$

Ελλιπής εξίσωση χωρίς σταθερό όρο

Μια ακόμα ειδική περίπτωση δευτεροβάθμιας εξίσωσης προκύπτει όταν ο σταθερός όρος γ είναι ίσος με μηδέν. Η εξίσωση έχει τη γενική μορφή:

$$\alpha x^2+\beta x=0$$

Αυτός ο τύπος εξίσωσης λύνεται βγάζοντας κοινό παράγοντα τον άγνωστο:

$$x(\alpha x+\beta )=0.$$

Εδώ το αποτέλεσμα φαίνεται αρκετά καθαρά. Πάλι προκύπτουν δύο ρίζες της εξίσωσης, αλλά η μία από αυτές θα είναι πάντα ίση με μηδέν. Το πρώτο μέλος έχει δηλαδή τη μορφή γινομένου δύο παραστάσεων: του x και της παρένθεσης (α x + β). Πότε είναι αυτό το γινόμενο ίσο με μηδέν; Αν τουλάχιστον μία από αυτές τις παραστάσεις είναι ίση με μηδέν. Το πρώτο μέλος είναι λοιπόν ίσο με μηδέν σε δύο περιπτώσεις:

$$x=0\text{ή}\alpha x+\beta =0.$$

Την πρώτη λύση της εξίσωσης την έχουμε ήδη, είναι το μηδέν. Τη δεύτερη την παίρνουμε αν λύσουμε την εξίσωση πρώτου βαθμού α x + β = 0. Από το άρθρο για τις εξισώσεις πρώτου βαθμού ξέρουμε ότι αυτή η εξίσωση έχει μοναδική λύση, την:

$$x=-\frac{\beta }{\alpha }$$

Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε τις λύσεις ολόκληρης της εξίσωσης δευτέρου βαθμού α x² + β x = 0:

$$x_1=0,x_2=-\frac{\beta }{\alpha }.$$

Παράδειγμα:

$$6x^2+3x=0$$

Βγάζουμε κοινό παράγοντα το x:

$$x(6x+3)=0$$

Η πρώτη λύση είναι x = 0. Τη δεύτερη λύση τη βρίσκουμε λύνοντας την εξίσωση πρώτου βαθμού 6x + 3 = 0:

$$x=-\frac{\beta }{\alpha }=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}.$$

Γράφουμε το αποτέλεσμα:

$$x_1=0,x_2=-\frac{1}{2}.$$

Πάλι μπορούμε να δούμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, που τέμνει τον άξονα x'x ακριβώς σε αυτά τα σημεία:

Άλλοι τρόποι επίλυσης

Αυτές ήταν οι βασικές τεχνικές για ειδικούς τύπους εξισώσεων δευτέρου βαθμού. Η γενική εξίσωση δευτέρου βαθμού λύνεται με τη διακρίνουσα. Στους άλλους τύπους εξισώσεων ανήκει και η παραμετρική εξίσωση δευτέρου βαθμού.

Αριθμομηχανή

Βάλε τους συντελεστές α, β και γ της γενικής εξίσωσης α x² + β x + γ = 0 και η αριθμομηχανή θα υπολογίσει τη διακρίνουσα και τις ρίζες. Ως ξεχωριστή σελίδα βρίσκεις επίσης την αριθμομηχανή για την εξίσωση δευτέρου βαθμού.