Παραγοντικό

Το παραγοντικό του αριθμού ν είναι ίσο με το γινόμενο όλων των φυσικών αριθμών που είναι μικρότεροι ή ίσοι με τον αριθμό ν. Το παραγοντικό γράφεται με θαυμαστικό ν!. Για το μηδέν ισχύει: 0! = 1. Το παραγοντικό χρησιμοποιείται κυρίως στη συνδυαστική, όπου με αυτό υπολογίζονται για παράδειγμα οι μεταθέσεις. Για παράδειγμα, το παραγοντικό του πέντε είναι 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Ορισμός του παραγοντικού

Το παραγοντικό μπορούμε να το ορίσουμε με διάφορους τρόπους. Ο πιο απλός είναι μάλλον αυτός:

$$\nu !=\{\begin{array}{ll}1& \text{αν ν = 0}\\ \nu \cdot (\nu -1)!& \text{διαφορετικά}\end{array}$$

Μπορούμε να δώσουμε και ορισμό με γινόμενο:

$$\nu !=\prod _{\kappa =1}^{\nu }\kappa$$

Ή ακόμα και με ολοκλήρωμα:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

Πράξεις με παραγοντικά

Με παραγοντικά συχνά κάνουμε πράξεις μέσα σε κλάσματα. Εκεί χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι ν! = ν · (ν − 1)!. Αυτό ισχύει από τον ορισμό και θα το δείξουμε με ένα παράδειγμα. Ξέρουμε ότι το παραγοντικό του τέσσερα, 4!, είναι ίσο με το γινόμενο αυτών των φυσικών αριθμών: 4 · 3 · 2 · 1. Το γινόμενο 3 · 2 · 1 όμως είναι ίσο με το παραγοντικό του τρία: 3 · 2 · 1 = 3!. Το παραγοντικό του τέσσερα μπορούμε λοιπόν να το γράψουμε ως 4! = 4 · 3!.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Χάρη σε αυτό μπορούμε να απλοποιήσουμε αποτελεσματικά πολλά διαφορετικά παραγοντικά μέσα σε κλάσματα. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα – απλοποίησε την παράσταση:

$$\frac{\nu !}{(\nu -2)!}$$

Την απλοποίηση την κάνουμε με τον τύπο που ανέφερα πριν από λίγο. Στον αριθμητή μπορούμε να αναλύσουμε το παραγοντικό σε ν · (ν − 1)! και αυτό ακόμα (με τον ίδιο τύπο) μπορούμε να το αναλύσουμε σε ν · (ν − 1) · (ν − 2)!. Τώρα πια μπορούμε να απλοποιήσουμε ωραία το κλάσμα:

$$\frac{\nu !}{(\nu -2)!}=\frac{\nu (\nu -1)\boxed{{\displaystyle (\nu -2)!}}}{\boxed{{\displaystyle (\nu -2)!}}}=\nu (\nu -1)$$

Ένα ακόμα παράδειγμα:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\nu !\cdot (\nu +1)!}{(\nu -1)!\cdot (\nu +2)!}& =& \frac{\nu \cdot \boxed{{\displaystyle (\nu -1)!}}\cdot (\nu +1)!}{\boxed{{\displaystyle (\nu -1)!}}\cdot (\nu +2)!}\\ & =& \frac{\nu \cdot (\nu +1)!}{(\nu +2)!}\\ & =& \frac{\nu \cdot \boxed{{\displaystyle (\nu +1)!}}}{(\nu +2)\cdot \boxed{{\displaystyle (\nu +1)!}}}\\ & =& \frac{\nu }{\nu +2}\end{array}$$

Και το τελευταίο παράδειγμα με παραγοντικό:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(\nu +1))!}{(2\nu )!}& =& \frac{(2\nu +2)!}{(2\nu )!}\\ & =& \frac{(2\nu +2)(2\nu +1)\boxed{{\displaystyle (2\nu )!}}}{\boxed{{\displaystyle (2\nu )!}}}\\ & =& (2\nu +2)(2\nu +1)\end{array}$$