Διακρίνουσα

Η διακρίνουσα είναι ένα πολυώνυμο, με το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε τις λύσεις της γενικής εξίσωσης δευτέρου βαθμού ή να καθορίσουμε αν η εξίσωση έχει λύσεις και πόσες.

Τύπος και βασικές σχέσεις

Πρώτα επαναλαμβάνουμε τη γενική μορφή της εξίσωσης δευτέρου βαθμού:

$$\alpha x^2+\beta x+\gamma =0,\alpha \ne 0$$

όπου οι α, β, γ είναι πραγματικοί αριθμοί. Τη διακρίνουσα, που τη συμβολίζουμε με Δ, τη βρίσκουμε ως εξής:

$$\mathrm{\Delta }={\beta }^2-4\cdot \alpha \cdot \gamma$$

Παράδειγμα: έστω η εξίσωση δευτέρου βαθμού 3x² + 5x − 7 = 0. Για αυτήν ισχύει: α = 3, β = 5, γ = −7. Τη διακρίνουσα την υπολογίζουμε έτσι:

$$\mathrm{\Delta }=5^2-4\cdot 3\cdot (-7)=25+4\cdot 3\cdot 7=25+84=109$$

Το αποτέλεσμα είναι λοιπόν 109. Τι μας λέει αυτός ο αριθμός; Αν η διακρίνουσα είναι…

• θετική, τότε η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες,
• μηδέν, τότε η εξίσωση έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες,
• αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει καμία λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Έχει όμως λύση στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών.

Πώς υπολογίζουμε τις ρίζες της εξίσωσης δευτέρου βαθμού

Με τη διακρίνουσα μπορούμε να υπολογίσουμε απευθείας τις ρίζες της εξίσωσης δευτέρου βαθμού. Ο τύπος για τον υπολογισμό των ριζών είναι ο εξής:

$$x_{1,2}=\frac{-\beta \pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2\alpha },$$

όπου Δ είναι η διακρίνουσα. Ο πλήρης τύπος με αναπτυγμένη τη διακρίνουσα γράφεται έτσι:

$$x_{1,2}=\frac{-\beta \pm \sqrt{{\beta }^2-4\alpha \gamma }}{2\alpha }.$$

Ας δοκιμάσουμε με αυτόν τον τύπο να υπολογίσουμε τις ρίζες της εξίσωσης x² + 7x + 12 = 0. Πρώτα υπολογίζουμε τη διακρίνουσα:

$$\mathrm{\Delta }=7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1.$$

Η διακρίνουσα βγήκε θετική, άρα η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες. Υπολογίζουμε την πρώτη ρίζα. Πρώτα θα προσθέσουμε την τετραγωνική ρίζα της διακρίνουσας, στο δεύτερο βήμα θα την αφαιρέσουμε:

$$x_1=\frac{-7+\sqrt{1}}{2}=\frac{-7+1}{2}=-\frac{6}{2}=-3.$$

Η πρώτη ρίζα βγήκε −3. Τη δεύτερη ρίζα την υπολογίζουμε αφαιρώντας την τετραγωνική ρίζα:

$$x_2=\frac{-7-\sqrt{1}}{2}=\frac{-7-1}{2}=-\frac{8}{2}=-4.$$

Τώρα έχουμε και τις δύο ρίζες της εξίσωσης, x₁ = −3 και x₂ = −4.

Για να κατακτήσεις αυτή τη διαδικασία, πρέπει οπωσδήποτε να μπορείς να βρίσκεις σωστά τις τιμές των α, β και γ. Πώς γίνεται αυτό, περιγράφεται στο πρώτο άρθρο για τις εξισώσεις δευτέρου βαθμού.

Και τι σημαίνει αυτή η λύση γραφικά, πώς φαίνεται στη γραφική παράσταση; Αν σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που βρίσκεται στο πρώτο μέλος της εξίσωσης, θα δούμε ότι η παραβολή τέμνει τον άξονα x'x σε δύο σημεία – στα σημεία x₁ = −3 και x₂ = −4.

Μηδενική διακρίνουσα

Αν η διακρίνουσα βγει μηδέν, αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει λύση, αλλά μόνο μία· ή μάλλον δύο, αλλά ίσες. Παράδειγμα: λύσε την εξίσωση x² − 10x + 25 = 0. Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα:

$$\mathrm{\Delta }=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot 25=100-100=0.$$

Τη ρίζα την υπολογίζουμε όπως στο προηγούμενο κεφάλαιο, με τον τύπο. Επειδή όμως η διακρίνουσα είναι μηδέν, από τον τύπο εξαφανίζεται το συν/πλην της τετραγωνικής ρίζας του Δ, αφού θα προσθέταμε/αφαιρούσαμε μηδέν.

$$x_{1,2}=\frac{-(-10)}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Βρήκαμε μία διπλή ρίζα, x = 5. Τι σημαίνει αυτό γραφικά; Ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης εφάπτεται του άξονα x'x σε ακριβώς ένα σημείο, στην κορυφή της.

Αρνητική διακρίνουσα

Αν η διακρίνουσα βγαίνει αρνητική, τότε η εξίσωση δευτέρου βαθμού δεν έχει λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Την εξίσωση μπορούμε να τη λύσουμε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, αλλά γι' αυτό θα μιλήσει το επόμενο άρθρο. Για παράδειγμα, ας προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτήν την εξίσωση δευτέρου βαθμού: x² + x + 1 = 0. Η διακρίνουσα:

$$\mathrm{\Delta }=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3.$$

Η εξίσωση δευτέρου βαθμού δεν έχει λοιπόν λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Μπορείς να το δοκιμάσεις – το πολυώνυμο x² + x + 1 είναι θετικό για όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Για παράδειγμα, αν στη θέση του x βάλεις το ένα, παίρνεις: 1 + 1 + 1 = 3. Αν x = −1, τότε έχουμε 1 − 1 + 1 = 1. Αν x = 0, έχουμε 0 + 0 + 1 = 1. Και ομοίως για άλλους αριθμούς. Μπορείς επίσης να δεις τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x² + x + 1, που δεν τέμνει ποτέ τον άξονα x'x.

Τύποι του Vieta

Ξέρουμε ήδη πώς να υπολογίσουμε τη λύση μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού. Ποια σχέση όμως υπάρχει ανάμεσα στις ρίζες; Ας δοκιμάσουμε να προσθέσουμε τις δύο ρίζες x₁ και x₂:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-\beta +\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2\alpha }+\frac{-\beta -\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2\alpha }\\ & =& \frac{-\beta +\sqrt{\mathrm{\Delta }}-\beta -\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2\alpha }\\ & =& \frac{-2\beta }{2\alpha }=-\frac{\beta }{\alpha }\end{array}$$

Αν προσθέσουμε τις ρίζες της εξίσωσης δευτέρου βαθμού α x² + β x + γ = 0, παίρνουμε το πηλίκο −β/α. Τι θα συμβεί αν πολλαπλασιάσουμε τις ρίζες;

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-\beta +\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2\alpha }\cdot \frac{-\beta -\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2\alpha }\\ & =& \frac{{\beta }^2+\beta \cdot \sqrt{\mathrm{\Delta }}-\beta \cdot \sqrt{\mathrm{\Delta }}-\mathrm{\Delta }}{4{\alpha }^2}\\ & =& \frac{{\beta }^2-\mathrm{\Delta }}{4{\alpha }^2}\\ & =& \frac{{\beta }^2-({\beta }^2-4\alpha \gamma )}{4{\alpha }^2}\\ & =& \frac{4\alpha \gamma }{4{\alpha }^2}=\frac{\gamma }{\alpha }\end{array}$$

Άρα αν πολλαπλασιάσουμε τις ρίζες, παίρνουμε τον αριθμό γ/α. Και αυτοί είναι οι τύποι του Vieta. Ακόμη μία φορά όλοι μαζί:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -\frac{\beta }{\alpha }\\ x_1\cdot x_2& =& \frac{\gamma }{\alpha }\end{array}$$

Πρόσεξε ότι στον παρονομαστή του κλάσματος υπάρχει πάντα η παράσταση α. Ειδική περίπτωση είναι η εξίσωση δευτέρου βαθμού για την οποία ισχύει α = 1. Τότε μπορούμε να γράψουμε τους τύπους του Vieta έτσι:

$$\begin{array}{r}\text{αν }\alpha =1:\\ x_1+x_2& =& -\beta \\ x_1\cdot x_2& =& \gamma \end{array}$$

Αυτό μπορούμε να το αξιοποιήσουμε στην εύρεση λύσεων εξισώσεων δευτέρου βαθμού. Αντί να υπολογίζουμε επίπονα τη διακρίνουσα, μπορούμε να δούμε αν βρίσκουμε τέτοιους αριθμούς x₁ και x₂, ώστε να ισχύουν οι παραπάνω σχέσεις. Παράδειγμα: βρες τις λύσεις της εξίσωσης x² + 8x + 15 = 0. Ισχύει ότι α = 1, άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους απλούστερους τύπους του Vieta. Ψάχνουμε αριθμούς x₁ και x₂ ώστε να ισχύει:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -8\\ x_1\cdot x_2& =& 15\end{array}$$

Αν περιοριστούμε μόνο στους ακέραιους αριθμούς, έχουμε συνολικά τέσσερις δυνατότητες να πάρουμε γινόμενο 15:

$$\begin{array}{rcl}1\cdot 15& =& 15\\ 3\cdot 5& =& 15\\ -3\cdot (-5)& =& 15\\ -1\cdot (-15)& =& 15\end{array}$$

Τώρα χρειαζόμαστε το άθροισμα των αριθμών στο αριστερό μέλος να δίνει −8. Μόνο ένα ζευγάρι δίνει τέτοιο άθροισμα, το −3 και το −5. Αυτοί οι αριθμοί είναι λοιπόν οι λύσεις της εξίσωσης δευτέρου βαθμού. Μπορούμε να τους αντικαταστήσουμε στην εξίσωση, πρέπει να βγει μηδέν:

$$\begin{array}{rcl}(x=-3):& & (-3{)}^2+8\cdot (-3)+15=9-24+15=0\\ (x=-5):& & (-5{)}^2+8\cdot (-5)+15=25-40+15=0\end{array}$$

Βγαίνει σωστά. Αν ξέρεις τις ρίζες, μπορείς επίσης να γράψεις την εξίσωση σε πιο ευανάγνωστη μορφή. Αν οι x₁ και x₂ είναι ρίζες της εξίσωσης α x² + β x + γ = 0, τότε για α = 1 μπορείς να ξαναγράψεις την εξίσωση στη μορφή

$$(x-x_1)(x-x_2)=0.$$

Την προηγούμενη εξίσωση μπορούμε έτσι να την ξαναγράψουμε στη μορφή:

$$(x-(-3))(x-(-5))=(x+3)(x+5)=0.$$