Το τρίγωνο του Pascal

Το τρίγωνο του Pascal αποτελείται από αριθμούς και ισχύει ότι ο αριθμός που βρίσκεται κάτω από δύο άλλους αριθμούς ισούται με το άθροισμά τους. Ας κατασκευάσουμε ένα τέτοιο τρίγωνο του Pascal και στη συνέχεια θα δούμε σε τι μπορεί να μας χρησιμεύσει.

Πώς κατασκευάζουμε το τρίγωνο του Pascal

Στις πλευρές του τριγώνου μας γράφουμε μόνο άσσους και το εσωτερικό του τριγώνου προς το παρόν το γεμίζουμε με ερωτηματικά:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Τώρα υπολογίζουμε το πρώτο ερωτηματικό – προσθέτουμε τους δύο αριθμούς που βρίσκονται πάνω από αυτό και παίρνουμε 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε τα ερωτηματικά της επόμενης γραμμής. Πρώτα παίρνουμε 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Και μετά παίρνουμε 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο και με κάθε νέα γραμμή παίρνουμε ένα ακόμα κομμάτι του τριγώνου του Pascal:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Το τρίγωνο του Pascal είναι φυσικά άπειρο, μπορούμε να δημιουργούμε συνεχώς όλο και περισσότερες γραμμές. Πάντα όμως ισχύει ότι στα άκρα έχουμε άσσους και στο εσωτερικό του τριγώνου έχουμε αριθμούς που προέκυψαν ως άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται πάνω από τον καθένα τους. Για παράδειγμα, ο αριθμός 15 στην τελευταία γραμμή προέκυψε ως άθροισμα των αριθμών 5 και 10 που βρίσκονται πάνω από αυτόν.

Βασικές ιδιότητες του τριγώνου του Pascal

Την πρώτη βασική ιδιότητα την είπαμε ήδη: στις πλευρές του τριγώνου έχουμε πάντα άσσους:

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

Στη «δεύτερη διαγώνιο» έχουμε πάντα όλους τους φυσικούς αριθμούς:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Πρόσεξες, παρεμπιπτόντως, ότι το τρίγωνο του Pascal είναι συμμετρικό; Κάθε γραμμή είναι ίδια, είτε τη διαβάσεις από αριστερά προς τα δεξιά είτε από δεξιά προς τα αριστερά.

Τριγωνικοί αριθμοί

Στην τρίτη διαγώνιο έχουμε τους αριθμούς 1, 3, 6, 10, 15…

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Τι ενδιαφέρον έχουν; Αυτούς τους αριθμούς τους λέμε τριγωνικούς αριθμούς. Φαντάσου ότι έχεις αρκετούς κυκλικούς δίσκους και θέλεις να τους τακτοποιήσεις σε σχήμα τριγώνου. Πόσους δίσκους θα χρειαζόσουν; Δες για παράδειγμα το επόμενο σχήμα:

Βλέπουμε ότι για τρίγωνο με πλευρά 1 χρειαζόμαστε ακριβώς έναν δίσκο. Για πλευρά μήκους δύο χρειαζόμαστε τρεις δίσκους, για μήκος τρία χρειαζόμαστε έξι δίσκους και για μήκος τέσσερα χρειαζόμαστε δέκα δίσκους. Ο αριθμός των δίσκων που χρειαζόμαστε είναι πάντα κάποιος τριγωνικός αριθμός, τον οποίο βρίσκουμε στο τρίγωνο του Pascal.

Άθροισμα των γραμμών

Τι θα γινόταν αν προσθέταμε κάθε γραμμή του τριγώνου του Pascal;

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

Βλέπουμε ότι το άθροισμα κάθε γραμμής είναι διπλάσιο από το άθροισμα της προηγούμενης γραμμής. Όλα τα αθροίσματα είναι λοιπόν ίσα με κάποια δύναμη του δύο. Αν ονομάσουμε την πάνω γραμμή γραμμή μηδέν, μπορούμε να γράψουμε ότι το άθροισμα της ν-οστής γραμμής του τριγώνου του Pascal ισούται με 2^ν.

Πρώτοι αριθμοί

Ονομάζουμε την πάνω γραμμή του τριγώνου γραμμή μηδέν. Τότε ισχύει ότι αν διαλέξουμε μια ν-οστή γραμμή, όπου ο ν είναι πρώτος αριθμός, τότε όλοι οι αριθμοί αυτής της γραμμής (εκτός από τους άσσους στα άκρα) θα διαιρούνται με τον αριθμό ν.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε ν = 5. Ο αριθμός πέντε είναι πρώτος αριθμός. Η πέμπτη γραμμή είναι η εξής:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Καθένας από αυτούς τους σημειωμένους αριθμούς διαιρείται με το πέντε.

Διωνυμικό θεώρημα

Σίγουρα γνωρίζεις τους τύπους για τον υπολογισμό των (a + b)² ή (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι οι συντελεστές των επιμέρους όρων αντιστοιχούν στους αριθμούς του τριγώνου του Pascal. Ας δούμε για παράδειγμα την παράσταση

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Πρώτα γράφουμε στους όρους a³ και b³ τον πολλαπλασιασμό με το ένα, για να φαίνεται πιο καθαρά:

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

Τώρα βλέπουμε ότι οι συντελεστές με τους οποίους πολλαπλασιάζονται οι όροι είναι ίδιοι με την τρίτη γραμμή του τριγώνου του Pascal (αν θεωρούμε την πάνω γραμμή ως γραμμή μηδέν):

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

Σε αυτό το φαινόμενο όμως είναι αφιερωμένο ξεχωριστό άρθρο για το διωνυμικό θεώρημα.