Μαθηματικά σύμβολα

Τα μαθηματικά είναι γεμάτα από διάφορα σύμβολα, μέσα στα οποία ο απλός θνητός μπορεί εύκολα να χαθεί. Αυτό το άρθρο προσπαθεί να καλύψει και να εξηγήσει τουλάχιστον τα βασικά σύμβολα που μπορεί να συναντήσεις σε κάθε μαθηματικό βήμα.

Λίστα συμβόλων

• +, −, · , /: βασικά σύμβολα για τις συνηθισμένες πράξεις πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Ως σύμβολο του πολλαπλασιασμού χρησιμοποιείται συχνά ο αστερίσκος: * ή η συνηθισμένη τελεία «.». Δύσκολο να πούμε ποιος είναι ο σωστός συμβολισμός – τα πρότυπα, οι τυπογραφικοί κανόνες και οι συνήθειες δεν συμφωνούν. Συχνότερα, αν το επιτρέπει το λογισμικό, χρησιμοποιείται η μεσαία τελεία: ·. Για τη διαίρεση χρησιμοποιείται είτε η προαναφερθείσα πλάγια γραμμή είτε η άνω και κάτω τελεία : ή η άνω και κάτω τελεία με γραμμή στη μέση: ÷. Συχνότερα χρησιμοποιείται μάλλον η πλάγια γραμμή.

• (), [], {}: τρία είδη παρενθέσεων. Έχουν διαφορετικές χρήσεις. Οι στρογγυλές παρενθέσεις χρησιμοποιούνται για να καθορίσουν την προτεραιότητα των πράξεων και για να ενώσουν κάποιες παραστάσεις. Αν για παράδειγμα έγραφες:

  $$1+2/3+4$$

  τότε δεν θα ήταν σίγουρο τι εννοείς. Έτσι γραμμένο σημαίνει ένα συν δύο τρίτα, συν τέσσερα. Αν ήθελες να γίνει ένα μεγάλο κλάσμα, θα χρησιμοποιούσες στρογγυλές παρενθέσεις:

  $$(1+2)/(3+4)$$

  Οι στρογγυλές παρενθέσεις χρησιμοποιούνται για παράδειγμα και για τις συντεταγμένες σε ένα σύστημα συντεταγμένων. Αν ήθελες να γράψεις το σημείο με συντεταγμένες x = 10 και y = 12, θα το έγραφες (10, 12).

• x² ο άνω δείκτης χρησιμοποιείται για τις δυνάμεις. Η προηγούμενη παράσταση x² μπορεί να γραφτεί ως x · x. Την παράσταση στον άνω δείκτη την ονομάζουμε εκθέτη.

• $\sqrt{}$: σύμβολο της ρίζας. Δηλώνει την αντίστροφη συνάρτηση της ύψωσης σε δύναμη. Για τη ρίζα ισχύει:

  $$\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=x$$

• % είναι το σύμβολο των ποσοστών και χρησιμοποιείται και στα μαθηματικά για υπολογισμούς με ποσοστά. Τίποτα πιο περίπλοκο δεν κρύβεται πίσω του.

• |x|: οι κατακόρυφες γραμμές δηλώνουν την απόλυτη τιμή. Η απόλυτη τιμή κάνει έναν αρνητικό αριθμό θετικό. Έτσι για παράδειγμα: |−5| = 5. Οι κατακόρυφες γραμμές μπορούν στη γεωμετρία να δηλώνουν και την απόσταση δύο σημείων. Αν έχουμε τα σημεία A και B, την απόσταση των σημείων τη συμβολίζουμε |AB|.

• !: το θαυμαστικό δηλώνει το παραγοντικό. Το παραγοντικό δίνει το γινόμενο όλων των φυσικών αριθμών που είναι μικρότεροι ή ίσοι με τον δοσμένο αριθμό. Το θαυμαστικό γράφεται μετά την παράσταση της οποίας το παραγοντικό θέλουμε να υπολογίσουμε. Παράδειγμα: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

• π είναι μια τυπική μαθηματική σταθερά. Το π, που διαβάζεται «πι», είναι ο αριθμός π. Χρησιμοποιείται συχνότερα στην τριγωνομετρία και στη γεωμετρική σχεδίαση, επειδή με το π υπολογίζεται για παράδειγμα η περίμετρος και το εμβαδόν του κύκλου. Το σύμβολο π είναι γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου. Η προσεγγιστική τιμή είναι 3,1415… Επειδή πρόκειται για άρρητο αριθμό, δεν μπορεί να γραφτεί ολόκληρος.

• e είναι μια ακόμα σημαντική μαθηματική σταθερά, ο αριθμός του Euler. Η σταθερά πήρε το όνομά της από τον Leonhard Euler, έναν σπουδαίο Ελβετό μαθηματικό. Ο αριθμός του Euler χρησιμοποιείται συχνότερα στους λογαρίθμους – ο φυσικός λογάριθμος έχει ως βάση ακριβώς τον αριθμό του Euler. Όπως και το π, ο αριθμός του Euler είναι άρρητος αριθμός, επίσης δεν μπορεί να γραφτεί ολόκληρος. Η προσεγγιστική τιμή είναι 2,71…

• D_f και f(A) δηλώνουν το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών των συναρτήσεων. Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο των στοιχείων που μπορούμε να επιλέξουμε ως όρισμα της συνάρτησης. Το σύνολο τιμών είναι το σύνολο των στοιχείων που μπορεί να πάρει η τιμή της συνάρτησης.

• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2})$ είναι ο διωνυμικός συντελεστής. Μοιάζει με κλάσμα χωρίς κλασματική γραμμή, αλλά με παρενθέσεις γύρω. Οι παρενθέσεις αυτές γράφονται κανονικά, δεν γράφουμε απλώς δύο αριθμούς χωρίς τίποτα. Ο διωνυμικός συντελεστής χρησιμεύει για πιο σύντομη γραφή των συνδυασμών.

• ℕ^∗, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ είναι τα βασικά σύνολα με τα οποία δουλεύουμε στα μαθηματικά. Από αριστερά πρόκειται για: φυσικούς αριθμούς, ακέραιους αριθμούς, ρητούς αριθμούς, πραγματικούς αριθμούς και μιγαδικούς αριθμούς.

• ⊆ , ∈ , × είναι τελεστές που χρησιμοποιούνται στη θεωρία συνόλων. Από αριστερά: υποσύνολο, σύμβολο για το ότι ένα στοιχείο ανήκει σε ένα σύνολο, καρτεσιανό γινόμενο.

• f′ δηλώνει (πιο συγκεκριμένα, ο τόνος) την παράγωγο της συνάρτησης f.

• ∧ , ∨ , ⇒ , ⇔ , ¬ είναι σύμβολα που χρησιμοποιούνται στον προτασιακό λογισμό. Από αριστερά: σύζευξη, διάζευξη, συνεπαγωγή, ισοδυναμία και άρνηση.

• $\sum _{i=1}^{\nu }{\alpha }_i$ είναι το σύμβολο του αθροίσματος και δηλώνει το άθροισμα μιας ακολουθίας α_i. Αυτό είναι πια ένα σύμβολο που τρομάζει, αλλά δεν έχει τίποτα ιδιαίτερα περίπλοκο. Το άθροισμα ξεκινά με την τιμή i = 1 και προσθέτει διαδοχικά τις τιμές της ακολουθίας α_i και αυξάνει την τιμή της μεταβλητής i κατά ένα, μέχρι η τιμή του i να γίνει ίση με τον άνω δείκτη, δηλαδή το ν. Έτσι προσθέτονται διαδοχικά οι όροι της ακολουθίας:

  $$\sum _{i=1}^{\nu }{\alpha }_i={\alpha }_1+{\alpha }_2+\dots +{\alpha }_{\nu }$$

  Ας πούμε ότι έχουμε την ακολουθία α_i = i, δηλαδή την ακολουθία 1, 2, 3, … Πώς θα γράφαμε το άθροισμα των πρώτων πέντε όρων της ακολουθίας;

  $$\sum _{i=1}^5{\alpha }_i=1+2+3+4+5=15$$

• $\prod _{i=1}^{\nu }{\alpha }_i$ είναι το σύμβολο που ονομάζεται γινόμενο και είναι το αντίστοιχο του προηγούμενου αθροίσματος, μόνο που ως εσωτερική πράξη λειτουργεί όχι η πρόσθεση αλλά ο πολλαπλασιασμός. Το σύμβολο αυτό δίνει το γινόμενο των δοσμένων όρων της ακολουθίας (το σύμβολο του αθροίσματος δίνει το άθροισμα). Έτσι το γινόμενο των πρώτων πέντε όρων της προηγούμενης ακολουθίας α_i = i θα έμοιαζε έτσι:

  $$\prod _{i=1}^5{\alpha }_i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$$