Προτασιακός λογισμός

Ο προτασιακός (μαθηματικός) λογισμός είναι ένα εκφραστικό εργαλείο των μαθηματικών, που θα συναντήσεις με διάφορους όρους και σε κάθε είδους μαθηματικά θεωρήματα.

Σε τι χρησιμεύει η λογική

Η λογική είναι η επιστήμη που ασχολείται με τον συλλογισμό, την αλήθεια, τη δυνατότητα απόδειξης και τη δυνατότητα διάψευσης. Σε όλα αυτά η λογική ενδιαφέρεται μόνο για τη μορφή της διατύπωσης και όχι για το τι ακριβώς διατυπώνεται, όπως δεν την απασχολούν ούτε οι ψυχολογικές ερμηνείες και παρόμοια ζητήματα.

Αν έχουμε, για παράδειγμα, την πρόταση «ο αριθμός 2 είναι άρτιος και ταυτόχρονα περιττός», μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ολόκληρη η πρόταση δεν είναι αληθής, επειδή ο αριθμός 2 δεν είναι περιττός. Αυτά είναι τα ζητήματα που αντιμετωπίζει γενικά η λογική.

Πρόταση

Βάση του προτασιακού λογισμού είναι, φυσικά, η πρόταση. Πρόταση είναι κάθε οριστική φράση για την οποία μπορούμε να καθορίσουμε την τιμή αλήθειας της. Παραδείγματα απλών προτάσεων:

• Το Έβερεστ είναι το ψηλότερο βουνό στον κόσμο.
• Ο φυσικός αριθμός πέντε είναι περιττός αριθμός.
• Η HTML είναι γλώσσα προγραμματισμού.
• Δύο συν τρία κάνει έξι.

Όλα αυτά είναι προτάσεις, είτε είναι αληθείς (οι δύο πρώτες) είτε ψευδείς (οι δύο τελευταίες). Πρόταση δεν είναι, για παράδειγμα, μια ερωτηματική φράση ή μια φράση της οποίας δεν μπορούμε να καθορίσουμε με σαφήνεια την τιμή αλήθειας. Πάλι με παραδείγματα:

• Θα είναι και σε εκατό χρόνια το Έβερεστ το ψηλότερο βουνό στον κόσμο;
• Το πράσινο χρώμα είναι το ομορφότερο.

Η πρώτη φράση δεν μπορεί να είναι πρόταση, επειδή είναι ερωτηματική· στη δεύτερη πάλι δεν μπορούμε να αποφασίσουμε αν είναι αληθής ή ψευδής πρόταση. Μια τέτοια φράση ονομάζεται υπόθεση (εικασία).

Η κλασική μαθηματική λογική δεν μπορεί να αντιμετωπίσει πολύ καλά ασαφείς φράσεις του τύπου «ο Γιάννης είναι ψηλός» ή «η Ηλέκτρα είναι καλή τραγουδίστρια». Τέτοιες προτάσεις αντιμετωπίζονται καλύτερα, για παράδειγμα, στην ασαφή λογική, που είναι φτιαγμένη για την ασάφεια.

Απλή πρόταση

Στο πρώτο κεφάλαιο είχαμε το παράδειγμα της πρότασης «ο αριθμός 2 είναι άρτιος και ταυτόχρονα περιττός». Μια τέτοια πρόταση μπορούμε να την ονομάσουμε σύνθετη, επειδή στην πραγματικότητα συνδέει δύο συντομότερες προτάσεις: «ο αριθμός 2 είναι άρτιος» και «ο αριθμός 2 είναι περιττός». Αυτές οι δύο προτάσεις συνδέονται με τον λογικό σύνδεσμο «και» ή αλλιώς «και ταυτόχρονα».

Απλή (ατομική) πρόταση είναι λοιπόν μια πρόταση που δεν μπορούμε να τη διαιρέσουμε περαιτέρω· πρόκειται κατά κάποιον τρόπο για την πιο απλή διαπίστωση. Οι προηγούμενες προτάσεις-παραδείγματα ήταν στην πραγματικότητα απλές προτάσεις:

• Το Έβερεστ είναι το ψηλότερο βουνό στον κόσμο.
• Ο φυσικός αριθμός πέντε είναι περιττός αριθμός.
• Η HTML είναι γλώσσα προγραμματισμού.
• Δύο συν τρία κάνει έξι.

Τις απλές προτάσεις θα τις συμβολίζουμε στη συνέχεια με μικρά γράμματα του αλφαβήτου, κλασικά p, q, r, …, και θα τις λέμε προτασιακές μεταβλητές.

Λογικοί σύνδεσμοι

Η μαθηματική λογική χρησιμοποιεί συνήθως ένα συγκεκριμένο σύνολο λογικών συνδέσμων. Στους βασικούς ανήκουν τέσσερις διμελείς σύνδεσμοι:

• p ∧ q είναι η σύζευξη των προτάσεων, διαβάζεται «η πρόταση p και (ταυτόχρονα) η πρόταση q»
• p ∨ q είναι η διάζευξη των προτάσεων, διαβάζεται «η πρόταση p ή η πρόταση q»
• p ⇒ q είναι η συνεπαγωγή, διαβάζεται «αν η πρόταση p, τότε η πρόταση q»
• p ⇔ q είναι η ισοδυναμία, διαβάζεται «η πρόταση p αν και μόνο αν η πρόταση q»

Συγκεκριμένα παραδείγματα λογικών συνδέσμων:

• Στο κέντρο της Λάρισας βρέχει και ταυτόχρονα λάμπει ο ήλιος. (σύζευξη)
• Στο κέντρο της Λάρισας βρέχει ή λάμπει ο ήλιος. (διάζευξη)
• Η εταιρεία Ζέφυρος είναι η πιο κουλ εταιρεία και ο Μιλτιάδης ο πιο κουλ τύπος. (σύζευξη)
• Αν πάρεις καθαρτικό, τότε σύντομα θα χέ… (συνεπαγωγή)
• Αν ο αριθμός x διαιρείται με το τέσσερα, τότε διαιρείται και με το δύο. (συνεπαγωγή)
• Η Αγάθη είναι όμορφη και ταυτόχρονα έξυπνη. (σύζευξη)
• Οι τραγουδίστριες είναι επιτυχημένες αν και μόνο αν είναι όμορφες. (ισοδυναμία)
• Αν δεν βρέξει, δεν θα βραχούμε. (συνεπαγωγή)
• Αν ο Μιλτιάδης ξέρει να τραγουδά, τότε εγώ είμαι ο κινέζος θεός του γέλιου. (συνεπαγωγή)

Γνωρίζουμε ακόμη έναν συνηθισμένο λογικό σύνδεσμο: την άρνηση. Η άρνηση συμβολίζεται είτε με τόνο p′ είτε με το σύμβολο ¬p.

Τύποι

Με τη βοήθεια των προτασιακών μεταβλητών (απλών προτάσεων) και των λογικών συνδέσμων μπορούμε να σχηματίσουμε πιο σύνθετες προτάσεις, που θα τις λέμε τύπους. Όλα τα παραδείγματα του προηγούμενου καταλόγου ήταν στην πραγματικότητα τύποι, επειδή είχαμε δύο ατομικούς τύπους, για παράδειγμα «Στο κέντρο της Λάρισας βρέχει» και «λάμπει ο ήλιος», και τους συνδέσαμε με λογικούς συνδέσμους. Στην πρώτη περίπτωση τους συνδέσαμε με τον σύνδεσμο «και ταυτόχρονα» και πήραμε τον τύπο «Στο κέντρο της Λάρισας βρέχει και ταυτόχρονα λάμπει ο ήλιος», στη δεύτερη χρησιμοποιήσαμε το «ή» και πήραμε τον τύπο «Στο κέντρο της Λάρισας βρέχει ή λάμπει ο ήλιος».

Τυπικά ορίζουμε τον τύπο ως εξής:

• Κάθε προτασιακή μεταβλητή (απλή πρόταση) είναι τύπος (ακριβέστερα, πρόκειται για ατομικό τύπο).
• Αν τα A και B είναι τύποι, τότε και τα ¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B) είναι τύποι.

Ο ορισμός έχει νόημα: στο πρώτο σημείο λέμε ότι κάθε απλή πρόταση είναι ταυτόχρονα και τύπος. Έτσι, αν έχουμε δύο απλές προτάσεις, για παράδειγμα «Στο κέντρο της Λάρισας βρέχει» και «λάμπει ο ήλιος», τότε έχουμε ταυτόχρονα και δύο τύπους. Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε το δεύτερο σημείο και να σχηματίσουμε έναν πιο σύνθετο τύπο, για παράδειγμα ως εξής:

• Στο κέντρο της Λάρισας βρέχει και ταυτόχρονα λάμπει ο ήλιος.
• Στο κέντρο της Λάρισας βρέχει ή λάμπει ο ήλιος.
• Αν στο κέντρο της Λάρισας λάμπει ο ήλιος, τότε βρέχει.
• Ο ήλιος λάμπει στο κέντρο της Λάρισας αν και μόνο αν βρέχει.

Οι τύποι φυσικά δεν είναι απαραίτητα αληθείς. Τώρα πήραμε ένα ακόμη σύνολο τύπων, οπότε μπορούμε να σχηματίσουμε ακόμη πιο σύνθετους. Αν ονομάσουμε A = «Στο κέντρο της Λάρισας λάμπει ο ήλιος ή βρέχει.» (ήδη ξέρουμε ότι είναι τύπος) και B = «φαίνεται ουράνιο τόξο» (ας υποθέσουμε ότι πάλι στο κέντρο της Λάρισας, για να μην το επαναλαμβάνουμε συνέχεια), μπορούμε να δημιουργήσουμε νέους τύπους. Οι παρενθέσεις στις προτάσεις δείχνουν απλώς σε ποια μέρη αναφέρεται ο σύνδεσμος.

• A ∧ B: (Στο κέντρο της Λάρισας λάμπει ο ήλιος ή βρέχει) και ταυτόχρονα (φαίνεται ουράνιο τόξο).
• A ∨ B: (Στο κέντρο της Λάρισας λάμπει ο ήλιος ή βρέχει) ή (φαίνεται ουράνιο τόξο).
• A ⇒ B: (Αν στο κέντρο της Λάρισας λάμπει ο ήλιος ή βρέχει), τότε (φαίνεται ουράνιο τόξο).
• A ⇔ B: (Στο κέντρο της Λάρισας λάμπει ο ήλιος ή βρέχει) αν και μόνο αν (φαίνεται ουράνιο τόξο).

Όλα αυτά είναι τύποι. Έτσι μπορούμε πάλι να πάρουμε έναν από αυτούς τους τύπους και να του συνδέσουμε έναν άλλον. Μπορούμε να φτιάξουμε, για παράδειγμα, το τερατούργημα «Αν στο κέντρο της Λάρισας λάμπει ο ήλιος ή βρέχει ή φαίνεται ουράνιο τόξο, τότε λάμπει ο ήλιος ή βρέχει αν και μόνο αν φαίνεται ουράνιο τόξο.»

Στο επόμενο μέρος θα εξετάσουμε την τιμή αλήθειας των τύπων.