Απόλυτη τιμή

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός, δηλαδή μεγαλύτερος ή ίσος του μηδενός. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού, θα είναι πάντα ο ίδιος αριθμός. Αν όμως θέλουμε να βρούμε την απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού, θα είναι ο αντίθετός του (δηλαδή για το x, όπου x < 0, η απόλυτη τιμή είναι −x). Η απόλυτη τιμή συμβολίζεται με δύο κατακόρυφες γραμμές: |x|.

Βασικές ιδιότητες

Αν και φαίνεται ότι οι πράξεις με απόλυτες τιμές είναι παιχνιδάκι, μάλλον ισχύει το αντίθετο: συνήθως καταφέρνουν να δυσκολέψουν αισθητά μια κατά τα άλλα εύκολη συνάρτηση. Δες για παράδειγμα τις εξισώσεις πρώτου βαθμού με απόλυτη τιμή. Ας δούμε ακόμα μερικά παραδείγματα:

$$\begin{array}{rcl}|5|& =& 5\\ |0|& =& 0\\ |-12|& =& 12\\ |3,14|& =& 3,14\\ |-2,71|& =& 2,71\end{array}$$

Η απόλυτη τιμή έχει αυτές τις ιδιότητες, για τιμές x, a, b από το σύνολο των πραγματικών αριθμών:

1. |x| ≥ 0
2. |a · b| = |a| · |b|
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
4. |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b

Ξεχωριστά υπολογίζεται η απόλυτη τιμή στους μιγαδικούς αριθμούς.

Γραφικές παραστάσεις

Οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων με απόλυτη τιμή χαρακτηρίζονται από το ότι σχηματίζουν καμπύλες με «μύτη». Σε αυτό το σημείο η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη.