Επίλυση τύπου ως προς μια μεταβλητή

Πώς λύνουμε μια πιο σύνθετη σχέση ή ένα κλάσμα ως προς μια συγκεκριμένη μεταβλητή. Αυτή η τεχνική χρησιμοποιείται ιδιαίτερα όταν δουλεύουμε με διάφορους τύπους, στους οποίους εμφανίζονται περισσότερες μεταβλητές. Σε συνδυασμό με άλλους τύπους μπορούμε να πετύχουμε απίστευτα πράγματα, όταν βγάζουμε τα πάντα από το τίποτα.

Απλές γραμμικές παραστάσεις

Έστω ο τύπος: ax + b = c. Πώς θα απομονώσουμε το x από αυτόν τον φανταστικό τύπο; Ξεκινάμε πάντα βάζοντας όλες τις παραστάσεις με τη μεταβλητή που απομονώνουμε στο αριστερό μέλος και τα υπόλοιπα στο δεξιό. Θεωρητικά δεν έχει σημασία τι θα είναι σε ποιο μέλος, αλλά συνηθίζεται ο άγνωστος που απομονώνουμε να είναι αριστερά. Πρώτα λοιπόν μεταφέρουμε το b στο δεξιό μέλος, δηλαδή προσθέτουμε στην εξίσωση το −b:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

Οι παραστάσεις με τη μεταβλητή είναι πια στο ένα μέλος, αλλά μας ενοχλεί ακόμα το a. Πώς να το ξεφορτωθούμε κομψά; Τι πρέπει να κάνουμε στην παράσταση ax για να πάρουμε μόνο x; Ναι, διαιρούμε την παράσταση – και μαζί με αυτήν ολόκληρη την εξίσωση – με το a, δηλαδή την πολλαπλασιάζουμε με $\frac{1}{a}$. Η τιμή του a πρέπει να είναι διαφορετική από το μηδέν (δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν). Αν το κάνουμε, παίρνουμε:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Έτοιμο. Ένα ακόμα παράδειγμα:

$$2ax-3bx=10a$$

Πάλι πρέπει να απομονώσουμε το x. Τις παραστάσεις με άγνωστο τις έχουμε ήδη στο αριστερό μέλος, οπότε γλιτώνουμε λίγη δουλειά. Η επιπλοκή όμως είναι ότι έχουμε δύο παραστάσεις με άγνωστο. Την κατάσταση τη λύνουμε με κοινό παράγοντα. Από το αριστερό μέλος της εξίσωσης βγάζουμε κοινό παράγοντα το x και παίρνουμε:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

Όταν στο προηγούμενο παράδειγμα είχαμε την παράσταση ax και θέλαμε να πάρουμε μόνο το x, πολλαπλασιάσαμε ολόκληρη την εξίσωση με $\frac{1}{a}$. Τώρα έχουμε στην εξίσωση την παράσταση x(2a − 3b) και πάλι θέλουμε να βρούμε το x. Κάνουμε το ίδιο, διαιρούμε ολόκληρη την εξίσωση με την παράσταση (2a − 3b). Μη φοβάσαι, μπορούμε πραγματικά να διαιρέσουμε την εξίσωση με ολόκληρη την παρένθεση, αρκεί να ισχύει 2a − 3b ≠ 0.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Κλάσματα

Αν έχουμε παράσταση με κλάσματα, χρησιμοποιούμε τις ίδιες μετατροπές εξισώσεων, μόνο που πρέπει να προσέχουμε μην τυχόν διαιρέσουμε ή πολλαπλασιάσουμε με το μηδέν. Παράδειγμα:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

Θέλουμε να απομονώσουμε το x. Πολλαπλασιάζουμε ολόκληρη την εξίσωση με x – μόνο που πρέπει να προσθέσουμε την προϋπόθεση ότι x ≠ 0. Αυτό ούτως ή άλλως ισχύει, επειδή στην εξίσωση υπάρχει το κλάσμα $\frac{a}{x}$ και το x είναι στον παρονομαστή – και με το μηδέν δεν μπορούμε να διαιρέσουμε. Παίρνουμε έτσι την εξίσωση:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

Όταν απομονώνεις τον άγνωστο, χρησιμοποίησε απλώς τις συνηθισμένες ισοδύναμες μετατροπές εξισώσεων.