Λόγοι

Οι λόγοι χρησιμοποιούνται συνήθως όταν θέλεις να προσδιορίσεις τον λόγο μιας ουσίας Α προς μια ουσία Β. Για παράδειγμα αν η ουσία Α πρέπει να είναι διπλάσια, η μισή και ούτω καθεξής. Φυσικά δεν χρειάζεται να πρόκειται μόνο για λόγο ανάμεσα σε δύο ουσίες, μπορούν να συμμετέχουν και περισσότερες.

Σχετικοί λόγοι

Οι λόγοι είναι πάντα σχετικοί, δεν είναι κάποιο απόλυτο μέγεθος. Αν η συνταγή γράφει «πρόσθεσε μισό κιλό ζάχαρη και ένα τέταρτο κιλό κρέας», αυτό είναι κάτι διαφορετικό από το «πρόσθεσε λίγο κρέας και διπλάσια ποσότητα ζάχαρης». Στην πρώτη περίπτωση δεν μας μένει τίποτα άλλο από το να αγοράσουμε μισό κιλό ζάχαρη, ενώ στη δεύτερη αρκεί να έχουμε διπλάσια ζάχαρη από το κρέας. Και στις δύο περιπτώσεις πάντως θα μαγειρέψουμε κάτι ακατανόμαστο.

Οι λόγοι γράφονται συνήθως με άνω και κάτω τελεία. Για παράδειγμα 1:2 ή 5:4. Τι σημαίνει αυτή η γραφή; Η πρώτη σημαίνει ότι η πρώτη ουσία πρέπει να υπάρχει στη μισή ποσότητα σε σχέση με τη δεύτερη. Η δεύτερη λέει ότι η ουσία Α πρέπει να υπάρχει στο μπολ 5 φορές, ενώ η ίδια ποσότητα της ουσίας Β μόνο τέσσερις φορές.

Αν θέλουμε να ανακατέψουμε ένα αλκοολούχο ποτό «θαξεράσωσίγουρα», στο οποίο ο λόγος βότκας προς ρούμι είναι 5:2, αυτό σημαίνει ότι στο ποτήρι ρίχνουμε 5 dl βότκα και 2 dl ρούμι. Επειδή όμως πρόκειται για λόγο, την εκφώνηση την ικανοποιούμε και αν ρίξουμε 2,5 dl βότκα και 1 dl ρούμι. Αρκεί, με λίγα λόγια, η βότκα να είναι 2,5 φορές περισσότερη από το ρούμι. Στον αριθμό 2,5 καταλήξαμε διαιρώντας 5 / 2. Αν λοιπόν έχουμε λόγο κάποιων ουσιών Α προς Β ίσο με 5:1, αυτό σημαίνει ότι η ουσία Α πρέπει να είναι πέντε φορές περισσότερη (5 / 1). Στο λόγο 7:3 θα ήταν περίπου 2,3 φορές περισσότερη (7 / 3). Στο λόγο 1:1 οι ουσίες θα ήταν ίσες και τέλος στο λόγο 2:3 η ουσία Β θα ήταν 1,5 φορά περισσότερη (3 / 2) ή η ουσία Α θα ήταν μόνο περίπου 0,67 της ποσότητας της ουσίας Β (2 / 3).

Παραδείγματα

Έχουμε στο πορτοφόλι σαράντα ευρώ, σε ψιλά. Επιπλέον έχουμε στον κήπο δύο εργάτες, που όλη τη νύχτα έσκαβαν τάφο για τη γειτόνισσα που σε κοιτάζει συνέχεια από το παράθυρο μέσα στο σαλόνι σου. Επειδή ο Τάκης δούλευε πιο γρήγορα από τον Μάκη, θα πάρει περισσότερα χρήματα, και μάλιστα σε λόγο 7:3. Πόσα χρήματα θα πάρουν λοιπόν για τη μακάβρια δουλειά τους, αν υποθέσουμε ότι δεν είμαστε τσιγκούνηδες και τους δίνουμε όλα τα σαράντα ευρώ;

Υπολογίζεται εύκολα. Έχουμε το λόγο 7:3. Δηλαδή ο Τάκης θα πάρει επτά μερίδια, ενώ ο Μάκης μόνο τρία. Προσθέτουμε τους όρους του λόγου 7 + 3 = 10 και με αυτόν τον αριθμό διαιρούμε τα σαράντα ευρώ που θέλουμε να τους δώσουμε: 40 / 10 = 4. Έτσι υπολογίσαμε πόσα ευρώ αντιστοιχούν σε ένα μερίδιο. Ο Τάκης πρέπει να πάρει επτά μερίδια: 4 · 7 = 28 και ο Μάκης τρία μερίδια: 3 · 4 = 12. Και το πρόβλημα λύθηκε – ο Τάκης θα πάρει 28 ευρώ και ο Μάκης 12.

Αυτός είναι ο πιο απλός τρόπος λύσης προβλημάτων με λόγους. Ο λόγος μάς εκφράζει ουσιαστικά μέρη ενός ορισμένου συνόλου. Αν ο λόγος είναι 1:2, αυτό σημαίνει ότι η ουσία Α είναι το 1/3 του συνόλου και η ουσία Β τα 2/3. Είναι απλώς κλάσματα γραμμένα αλλιώς. Τον παρονομαστή τον βρίσκουμε προσθέτοντας όλα τα μέρη του λόγου και ως αριθμητές βάζουμε τους δοσμένους όρους. Αν προσθέσουμε όλα τα κλάσματα, πρέπει να βγει το σύνολο, δηλαδή το ένα. 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1. Μπορούμε να το εκφράσουμε και με ποσοστά: 33,3% και 66,7% (περίπου). Ένα ακόμα απλό παράδειγμα:

Η Λουκία και ο Πέτρος είναι φίλοι από παιδιά, αλλά δυστυχώς ο καθένας τους πήγε σε διαφορετική σχολή, που τους χώρισε για πολύ καιρό. Η Λουκία σπούδασε ιστορία και ο Πέτρος σπούδασε μαθηματικά. Μετά από χρόνια συναντήθηκαν στο αγαπημένο τους μπαράκι «Η Βρεγμένη Γοργόνα» και τα είπαν με τις ώρες. Η Λουκία είπε στον Πέτρο ότι από τότε που χάθηκαν είχε δεκαέξι συντρόφους (η Λουκία ήταν πολύ όμορφο κορίτσι και λίγο φλερτατζού). Ο Πέτρος όμως ήταν πονηρός και δεν είπε στη Λουκία τον ακριβή αριθμό των κοριτσιών του, της είπε μόνο ότι ο λόγος των δικών της συντρόφων προς τις δικές του φίλες είναι 8:3. Μαθηματικός, τι να κάνεις… Η Λουκία όμως δεν είχε μόνο τέλεια μέτρα 89-61-88, ήταν και έξυπνη, και άρχισε να υπολογίζει: Εντάξει, οι δεκαέξι σύντροφοί μου αντιστοιχούν στο οκτώ του λόγου που μου είπε ο Πέτρος. Άρα, για να βρω πόσοι τύποι αντιστοιχούν σε ένα μερίδιο του λόγου, πρέπει να διαιρέσω 16 / 8 = 2. Σε ένα μερίδιο αντιστοιχούν λοιπόν δύο σύντροφοι. Ο Πέτρος έχει τρία μερίδια, άρα ο αριθμός των φίλων του είναι δύο επί τρία, δηλαδή έξι. Ο Πέτρος συμφώνησε και παρήγγειλε άλλο ένα ποτό. Μετά τη σημερινή βραδιά το σκορ και των δύο ανέβηκε ακριβώς κατά ένα, αλλά αυτό είναι άλλη ιστορία.

Η Εβελίνα δούλευε ως μπάρμαν σε ένα μαγαζί, το «Sk8 is Gr8». Ένα βράδυ ήρθε στο μπαρ ένας ελαφρώς ζαλισμένος τύπος και ζήτησε ένα ειδικό κοκτέιλ. Είπε στην μπάρμαν τις οδηγίες: «Κοπέλα, το θέλω σε ποτήρι του μισού λίτρου. Θέλω χυμό μπανάνας, κόλα και καφέ. Όλα σε λόγο 5:2:3.» Η μπάρμαν Εβελίνα απόρησε, αλλά ο πελάτης έχει πάντα δίκιο. Έπιασε δουλειά. Πρώτα πρόσθεσε όλους τους όρους του λόγου: 5 + 2 + 3 = 10. Στο ποτήρι του μισού λίτρου χωράνε 500 ml υγρού. Έπρεπε λοιπόν να βρει πόσα χιλιοστόλιτρα αντιστοιχούν σε ένα μερίδιο του λόγου. Αυτό το βρήκε εύκολα: 500 / 10 = 50. Σε ένα μερίδιο αντιστοιχούν 50 χιλιοστόλιτρα. Έτσι στο ποτήρι έριξε 5 · 50 = 250 ml χυμό μπανάνας, 2 · 50 = 100 ml κόλα και 3 · 50 = 150 ml καφέ. Όταν ο τύπος εμφανίστηκε για δεύτερη φορά, ζητούσε το κλειδί της τουαλέτας.

Κλίμακα χάρτη

Μια κλασική εφαρμογή των λόγων είναι και η κλίμακα του χάρτη.