Conjuntos

Un conjunto se puede entender como una colección de elementos. Todo conjunto contiene, pues, un cierto número de elementos, que puede ser finito o infinito. También puede no contener ningún elemento; entonces hablamos del conjunto vacío. Los conjuntos se suelen denotar con una letra mayúscula, por ejemplo M, y sus elementos con una letra minúscula m.

Qué es un conjunto

El conjunto es uno de los conceptos básicos de las matemáticas, a través del cual se definen muchísimas otras cosas, así que conviene dejar claro desde el principio qué es un conjunto, para no perderte más adelante.

Un conjunto es, pues, una colección de elementos cualesquiera. En matemáticas trabajamos casi siempre con conjuntos numéricos, es decir, conjuntos cuyos elementos son números. La escritura clásica de un conjunto es esta:

$$M=\{1,2,3\}$$

Con ella hemos descrito un conjunto llamado «M» que contiene tres elementos: el uno, el dos y el tres. Los conjuntos se escriben siempre entre llaves; prácticamente siempre que veas llaves, se trata de algún conjunto.

¿Para qué podemos usar los conjuntos? A menudo nos indican qué elementos podemos elegir. Por ejemplo, en la vida cotidiana podrías decir algo como «Lucía, vamos a jugar, ¿vale? Piensa un número del uno al cinco». Con eso le has delimitado a Lucía un intervalo de números entre los que puede elegir. En matemáticas usarías un conjunto:

$$L=\{1,2,3,4,5\}$$

Y entonces podrías decirle a Lucía: «Lucía, vamos a jugar, ¿vale? Piensa un número que esté en el conjunto L». Seguro que así el juego sería enseguida más divertido. En matemáticas, para escribir que un elemento pertenece a un conjunto usamos el símbolo ∈ y, cuando no pertenece, usamos ∉. Si queremos decir que el uno pertenece al conjunto L, pero el siete no, lo escribiríamos así: 1 ∈ L y 7 ∉ L.

Un conjunto, naturalmente, puede ser vacío; para ello sirve la notación P = {} o, más sencillamente, P = ∅. Ojo: ambas notaciones significan «conjunto vacío»; si lo escribieras así: P = {∅}, estarías escribiendo un conjunto que contiene dentro el conjunto vacío. No es lo mismo que el conjunto vacío.

Orden y repeticiones

De un conjunto no decimos que sus elementos estén ordenados de ninguna manera. Un conjunto contiene una colección desordenada de elementos. Si tuviéramos dos conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {3, 2, 1}, diríamos que son iguales. El orden de los elementos no importa.

Tampoco nos interesan los elementos repetidos. Si un conjunto contiene varios elementos iguales (varios números iguales), tenemos en cuenta siempre una sola aparición de cada elemento. De nuevo, si tuviéramos estos dos conjuntos A = {1, 1, 2, 2, 2} y B = {2, 1}, los consideraríamos iguales. No importa que el conjunto A contenga «más» elementos porque tiene elementos duplicados o triplicados. Al operar con conjuntos, esos elementos repetidos simplemente se descartan.

Cardinal e igualdad

Podemos definir el concepto de cardinal de un conjunto, que es el número de elementos del conjunto. En el ejemplo anterior, A = {1, 1, 2, 2, 2} y B = {2, 1}, el cardinal del conjunto A es dos, pero el del conjunto B también es dos, porque ni siquiera al contar los elementos de un conjunto nos interesan los elementos repetidos. El cardinal de un conjunto se escribe entre barras verticales: |A| = |B| = 2.

Como ya habrás comprendido, dos conjuntos son iguales si ambos tienen los mismos elementos. Unos cuantos ejemplos:

$$\begin{array}{rcl}\{1,2,3\}& =& \{1,2,3\}\\ \{1,2,3\}& =& \{1,2,3,2,3,1\}\\ \{a,h,o,j\}& =& \{o,o,h,j,a,o\}\\ \{1,3,5,9\}& \ne & \{1,3,9\}\\ \mathrm{\varnothing }& \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

Una propiedad importante es que un conjunto puede tener como elemento otro conjunto. Ejemplo: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. Es importante darse cuenta de que el conjunto C tiene tres elementos, no seis. El conjunto C contiene tres elementos: el uno, el dos y un conjunto. Los elementos 3, 4, 5 y 6 los contiene el conjunto interior, no el conjunto C. Por tanto, se cumple |C| = 3. Un ejemplo más complicado:

$$D=\{0,\{1,\{2,3\}\},\left\{4\right\}\}$$

¿Cuántos elementos contiene el conjunto D? Contiene tres elementos, que son estos:

$$D_1=0,D_2=\{1,\{2,3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

Un conjunto puede ser finito o infinito. Finitos son todos los que hemos mencionado hasta ahora. Infinito es, por ejemplo, el conjunto de todos los números.

Subconjunto

Tomemos dos conjuntos A = {1, 2} y B = {1, 2, 3}. Estos conjuntos son distintos, porque no contienen los mismos elementos: el conjunto B es mayor. Sin embargo, seguro que te has fijado en que el conjunto B contiene exactamente los mismos elementos que el conjunto A, solo que tiene además el elemento 3. En ese caso podemos decir que A es un subconjunto de B.

Si A es un subconjunto de B, debe cumplirse que todos los elementos que contiene el conjunto A los contenga también el conjunto B. Ser subconjunto es una relación y se escribe con el símbolo ⊆. Definición formal:

$$A\subseteq B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

Normalmente se supone que los conjuntos A y B pueden ser iguales y que aun así se cumplirá A ⊆ B. Si queremos expresar la variante estricta del subconjunto, usamos otro símbolo: ⊂. Entonces, si A ⊂ B, el conjunto B tiene que ser mayor (si es finito), es decir, tiene que contener un elemento que el conjunto A no contiene. A un conjunto así lo llamamos «subconjunto propio». Por tanto, si A ⊂ B, entonces A es un subconjunto propio de B. Definición de subconjunto propio:

$$A\subset B\iff (A\subseteq B\wedge A\ne B)$$

La definición es igual que la del subconjunto habitual, solo que los dos conjuntos no pueden ser iguales. Unos cuantos ejemplos:

$$\begin{array}{rcl}\{a,h,o\}& \subseteq & \{a,h,o,j\}\\ \{a,h,o\}& \subset & \{a,h,o,j\}\\ \{2,4,6\}& \subseteq & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{2,4,6\}& \subset & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{1,2,3\}& ⊈& \{1,3\}\\ \{1,2,3\}& \not\subset & \{1,3\}\\ \{0,1\}& \subseteq & \{0,1\}\\ \{0,1\}& \not\subset & \{0,1\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \left\{0\right\}& ⊈& \mathrm{\varnothing }\\ \left\{0\right\}& \not\subset & \mathrm{\varnothing }\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subseteq & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subset & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\end{array}$$

Propiedades del subconjunto:

• A ⊆ A: un conjunto es siempre subconjunto de sí mismo.
• A ⊄ A: un conjunto nunca es subconjunto propio de sí mismo.
• ∅ ⊆ A: el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
• A ⊄ ∅: el conjunto vacío no tiene ningún subconjunto propio.

Con ayuda de los subconjuntos podemos escribir la igualdad de conjuntos:

$$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$$

Si ambos conjuntos son iguales, cada uno es subconjunto del otro.

La relación de subconjunto también se llama «inclusión».

Conjunto potencia

El conjunto potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado. Se suele denotar $\mathcal{P}(M)$ o 2^M.

Ejemplo: M = {1, 2, 3}. ¿Cuáles son todos los subconjuntos? Seguro que están el subconjunto vacío y el propio conjunto M. Además: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Todos estos conjuntos forman el conjunto potencia del conjunto M. Lo escribimos: $\mathcal{P}(M)=\{\mathrm{\varnothing },M,\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{3\right\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\}$.

Como el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto y M es siempre subconjunto de M, siempre se cumplirá que $\mathrm{\varnothing }\in \mathcal{P}(M)$ y $M\in \mathcal{P}(M)$.

Cómo escribir un conjunto

Un modo ya lo hemos mencionado: la simple enumeración de los elementos (por extensión). Para ello usamos llaves. M = {1, 2, 3} o N = {a, b, c, d}, etc. Si escribimos un conjunto infinito, podemos usar tres puntos suspensivos cuando esté claro cómo continuará la sucesión de elementos: M = {1, 2, 3, …}

El modo principal de escribir un conjunto es mediante una propiedad característica (por comprensión). En general, la notación sería así: {x ∈ X ∣ P(x)}, donde X es el conjunto del que elegimos los elementos y P(x) es una fórmula que especifica los elementos del conjunto. La fórmula puede escribirse de forma puramente matemática o con palabras. En lugar de «∣» también se usa el punto y coma: «;».

Por ejemplo, «sea M el conjunto que contiene todos los números que designan un día del mes». Un mes tiene como máximo 31 días, así que ese conjunto tendría 31 elementos, del 1 al 31. Podríamos escribirlo con puntos suspensivos así: M = {1, 2, 3, …, 30, 31}. Otra escritura del mismo conjunto podría ser esta: {x ∈ ℤ ∣ x es un día del mes}, donde ℤ denota el conjunto de los números enteros.

Un ejemplo más matemático sería «sea P el conjunto que contiene todos los números positivos que son divisibles entre cinco». Entonces el conjunto tendría este aspecto: P = {5, 10, 15, 20, 25,…}

Probemos a escribir en lenguaje matemático el conjunto T de los números naturales menores que diez: T = {x ∈ ℕ ∣ x<10}. Esta notación nos dice: el conjunto T se compone de los elementos x que tomamos del conjunto de los números naturales y que cumplen la condición de ser menores que 10. Así que miramos los números naturales y nos quedamos solo con los menores que diez: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Y eso es todo.

Otro ejemplo: Y = {x ∈ ℤ ∣ x ≠ 0}. Hemos definido el conjunto Y, que contiene los elementos x que tomamos de los números enteros, y la única condición que x debe cumplir es que no sea cero. El conjunto Y contiene, por tanto, todos los números enteros salvo el cero.

Otro ejemplo: G = {x ∈ ℝ ∣ x · x = x}. El conjunto G contiene los elementos x que tomamos de los números reales y, para todos ellos, debe cumplirse que, al multiplicarlos por sí mismos, obtenemos de nuevo el número x. Por ejemplo, podemos probar con el número 5. Según la definición debería cumplirse esta igualdad: 5 · 5 = 5. Eso evidentemente no es cierto, así que el número 5 no será un elemento del conjunto G. Probemos con el uno: 1 · 1 = 1. Para él es evidentemente cierto, así que el uno será un elemento del conjunto G. El segundo, y a la vez último, elemento será el número cero. Para ningún otro número se cumplirá. Podemos escribir, pues: G = {0, 1}.

Y un último ejemplo. Voy a escribir algo más complicado para que veas que la propiedad característica también puede ser complicada:

$$X=\{x\in \mathbb{R}\mid (x^2=2x)\vee (\mathrm{sen}(x)=\pi \wedge \cos (x)=\pi )\}$$

En la práctica, un conjunto se define casi siempre mediante una propiedad característica, y se puede decir que una gran parte de los conceptos matemáticos se definen con ayuda de conjuntos. Si tomamos, por ejemplo, un intervalo, podemos decir que el intervalo (a, b) es el conjunto I para el que se cumple:

$$I=\{x\in \mathbb{R}\mid (x>a)\wedge (x<b)\}$$

Son todos los elementos del conjunto de los números reales que son mayores que a y menores que b, que es exactamente lo que expresa el intervalo.

Otras fuentes

• Wikipedia