Exponenciální růst

Stará legenda vypráví, že vynálezce šachu požádal panovníka o skromnou odměnu: na první pole šachovnice jedno zrnko rýže, na druhé dvě, na třetí čtyři a na každé další pole dvakrát tolik, co na předchozí. Panovník se prý zasmál, jak málo si mudrc přeje, a poručil přinést pytel rýže. Smál se ale předčasně.

Na prvním poli je 1 zrnko, tedy 2⁰. Na druhém 2¹ = 2, na třetím 2² = 4, na čtvrtém 2³ = 8. Exponent je o jedničku menší než číslo pole, takže na posledním, 64. poli leží

$$2^{63}=9223372036854775808$$

zrnek. To je přes devět trilionů. Jenže to je jen poslední pole a nám jde o celou šachovnici. Sečteme-li všechna pole, dostaneme

$$1+2+4+\dots +2^{63}=2^{64}-1,$$

tedy přesně 18 446 744 073 709 551 615 zrnek.

Proč zrovna 2⁶⁴ − 1? Ověřte si to na prvních polích: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Součet je pokaždé o jedničku menší než počet zrnek na dalším poli.

Jedno zrnko loupané rýže váží zhruba 20 miligramů, tisíc zrnek tedy asi 20 gramů. Spočítáme, kolik by vážila celá šachovnice:

$$(2^{64}-1)\cdot 20\text{mg}\doteq 369000000000\text{t}$$

Celá šachovnice by vážila asi 369 miliard tun rýže. Celý svět naproti tomu za rok vypěstuje zhruba 540 milionů tun loupané rýže. Na kolik let světové sklizně by to vystačilo? Podíl obou čísel:

$$\frac{369000000000}{540000000}\doteq 683$$

Panovník by vynálezci musel předat veškerou rýži, kterou lidstvo sklidí za víc než šest set let. Nejzajímavější je, jak dlouho to vypadá nevinně: celá první polovina šachovnice, 32 polí, dá dohromady 2³² − 1, tedy asi 4,3 miliardy zrnek. To je kolem 86 tun, pár náklaďáků. Zbytek se nasype až na druhou polovinu šachovnice.

Sčítání proti násobení

Roste-li něco tak, že se k tomu v každém kroku přičítá stejné číslo, mluvíme o lineárním růstu. Pokud se to naopak v každém kroku násobí stejným číslem, je to exponenciální růst. Na šachovnici to bylo násobení dvěma.

Rodiče nabízejí Jindrovi dvě možnosti, jak mu zvyšovat kapesné. Teď dostává 300 Kč měsíčně a buď mu ho každý měsíc zvýší o 100 Kč, nebo o 10 %. Sto korun, nebo jen deset procent z tří stovek, tedy třicet? Volba se zdá jasná.

V prvním měsíci to opravdu sedí. Při sčítání dostane Jindra 300 + 100 = 400 Kč, při násobení 300 · 1,1 = 330 Kč. Za půl roku má sčítání 900 Kč a násobení zhruba 531 Kč. Deset procent se ale počítá z čím dál větší částky, takže přírůstky rostou, zatímco stovka zůstává stovkou. Ve 23. měsíci násobení sčítání předstihne a od té chvíle se od něj už jen vzdaluje: po třech letech by Jindra při sčítání dostával 3 900 Kč, při násobení přes 9 200 Kč. A po čtyřech letech 5 100 Kč proti zhruba 29 100 Kč měsíčně.

Modrá přímka chvíli vede, jenže červená křivka stoupá čím dál prudčeji. Platí to obecně: exponenciální růst dřív nebo později předhoní jakýkoliv lineární, otázkou je jen kdy.

Celý exponenciální růst se vejde do jednoho vzorce

$$N=N_0\cdot q^t,$$

kde N₀ je počáteční hodnota, q je číslo, kterým se za jedno období násobí, a t je počet uplynulých období. U Jindry je N₀ = 300 a q = 1,1, protože přičíst 10 % znamená vynásobit číslem 1,1. Po 36 měsících dostaneme

$$N=300\cdot 1,1^{36}\doteq 9274\text{Kč}.$$

Na šachovnici je N₀ = 1 a q = 2. Proměnná t stojí v exponentu, jde tedy o exponenciální funkci. Najdete tam i bakterie, které se dělí vejpůl.

Za jak dlouho se to zdvojnásobí?

U exponenciálního růstu je šikovné ptát se, za jak dlouho se hodnota zdvojnásobí. Tahle doba zdvojení se nemění, ať začneme kdykoliv. Zdvojí-li se něco za deset let, za dalších deset let se to zdvojí znovu a za dvacet let je to čtyřikrát tolik.

K odhadu poslouží jednoduchá pomůcka, pravidlo 70: roste-li něco o p procent za období, zdvojnásobí se to přibližně za

$$\frac{70}{p}$$

období. Rostou-li ceny v obchodě každý rok o 7 %, zdvojí se zhruba za 70:7 = 10 let. Rohlík, který dnes stojí 4 koruny, by za deset let stál skoro osm. Peníze uložené s úrokem 3 % ročně se naopak zdvojnásobí asi za 70:3 ≐ 23 let. Úroky se totiž počítají i z těch dřívějších, a jde proto o složený úrok, tedy zase o exponenciální růst.

Proč zrovna sedmdesát? Přesnou dobu zdvojení zjistíme pomocí logaritmu. Hledáme t, které řeší exponenciální rovnici

$$1,{07}^t=2.$$

Rovnici zlogaritmujeme, čímž exponent spadne před logaritmus:

$$t\cdot \log 1,07=\log 2$$

Teď už stačí dělit:

$$t=\frac{\log 2}{\log 1,07}\doteq \frac{\mathrm{0,301}}{\mathrm{0,029}4}\doteq 10,2$$

Ceny by se tak zdvojily za necelých deset a čtvrt roku, pravidlo 70 se trefilo skoro přesně. Sedmdesátka vychází z toho, že podíl dvou logaritmů je stejný, ať vezmeme logaritmus o jakémkoliv základu. S přirozeným logaritmem ln a obecným růstem o p procent dostaneme

$$t=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}\doteq \frac{\mathrm{0,693}}{\frac{p}{100}}=\frac{69,3}{p},$$

protože pro malá procenta je $\ln (1+\frac{p}{100})$ zhruba $\frac{p}{100}$. Místo 69,3 se bere 70, protože se líp dělí. Pravidlo tak funguje dobře pro jednotky procent, u desítek procent už se trochu plete.

Lekníny na rybníku

Než budete číst dál, zkuste si tenhle hlavolam rozlousknout sami. Na rybníku rostou lekníny a každý den jich je dvakrát tolik co den předtím. Za 30 dní pokryjí celý rybník. Kolikátý den byla pokrytá polovina rybníku?

Nabízí se odpověď patnáctý den, vždyť patnáct je polovina třiceti. Jenže počet leknínů se denně zdvojí, takže když je 30. den pokrytý celý rybník, den předtím musel být pokrytý napůl. Polovina rybníku byla pod lekníny 29. den.

Půjdeme-li v čase ještě dál zpátky: 28. den byla pokrytá čtvrtina, 27. den osmina, 26. den šestnáctina, 25. den jen asi 3 % hladiny. Kdo by se šel na rybník podívat 25. den, viděl by skoro čistou vodu a usoudil, že je času dost. A za pouhých pět dní je rybník zarostlý celý.

Právě to je na exponenciálním růstu zrádné. Většinu doby se tváří nevinně, a když už je vidět pouhým okem, zbývá jen pár zdvojení do konce.

Epidemie

Stejným tempem se může šířit i nemoc. Řekněme, že ve městě je dnes 100 nakažených a počet případů se zdvojí každé tři dny. Za 30 dní se tak zdvojí desetkrát:

$$100\cdot 2^{10}=100\cdot 1024=102400$$

Ze stovky nemocných je za měsíc přes sto tisíc. Proto epidemiologové tlačí na opatření ve chvíli, kdy jsou čísla ještě malá a lidem připadá, že se nic neděje. Jsme totiž na rybníku 25. den.

Jak rychle se nemoc šíří, popisuje reprodukční číslo R. Zjednodušeně: kolik dalších lidí v průměru nakazí jeden nemocný. Pokud je R = 2, každý nakazí dva další, ti dva nakazí čtyři a každá „generace“ nemocných je dvakrát početnější. Trvá-li jedna generace zhruba tři dny, vracíme se přesně k příkladu výše. Když se podaří stáhnout R pod jedničku, například na 0,8, násobí se počet nemocných v každé generaci číslem menším než jedna a epidemie slábne. Ze 100 nakažených se v desáté generaci nakazí už jen asi

$$100\cdot 0,8^{10}\doteq 11$$

lidí.

Rozdíl mezi R = 0,8 a R = 2 se zdá malý. Po deseti generacích je z něj ale propast mezi jedenácti a sto dvěma tisíci nemocných.

Přeložte papír dvaačtyřicetkrát

Vezměte si list papíru, tlustý asi desetinu milimetru. Přeložte ho napůl a máte dvě vrstvy, tedy dvě desetiny milimetru. Přeložte ho znovu a máte čtyři vrstvy. Každé přeložení tloušťku zdvojí. Jak tlustý by byl papír po 42 přeloženích?

$$0,1\text{mm}\cdot 2^{42}\doteq 440000000000\text{mm}=440000\text{km}$$

Měsíc je od Země vzdálený v průměru zhruba 384 000 km. Papír přeložený dvaačtyřicetkrát by k němu dosáhl a ještě by kus přečníval.

Vyzkoušet si to nemusíte, stejně víc než sedmkrát list papíru rukama nepřeložíte. Po sedmi přeloženích má 128 vrstev a je tlustý necelé 1,3 cm, k tomu je čím dál menší a tužší. Rekord je třináct přeložení a byl na něj potřeba asi 16 km dlouhý pruh toaletního papíru.

Proč nám tohle číslo připadá absurdní? Intuice si se sčítáním poradí. Když si představíme 42 kroků, představíme si 42 stejných kroků vedle sebe. Tady ale každý krok přidá tolik, kolik je celý papír dosud tlustý. Po deseti přeloženích je papír tlustý asi 10 cm, po dvaceti přes 100 m a po třiceti už sahá 107 km vysoko. A posledních dvanáct přeložení, kterými se papír dostane k Měsíci, je prostě dalších dvanáct zdvojení.

Věčně to nevydrží

Kdyby se lekníny množily stejným tempem dál, 31. den by pokryly dva rybníky, 40. den tisíc rybníků. Tak to samozřejmě nefunguje. Rybník má jen omezenou plochu, bakterie mají omezené množství potravy a nemoc nemá koho nakazit, když už ji většina lidí prodělala. V přírodě trvá exponenciální růst jen do chvíle, kdy začne docházet místo nebo zdroje.

Pak růst zvolní a hodnota se blíží stropu, který prostředí uživí. Graf takového růstu vypadá jako protáhlé písmeno S, proto se mu říká S-křivka, odborně logistický růst.

Zpočátku se obě křivky skoro neliší. Zdrojů je dost, takže se nic nebrzdí a S-křivka roste exponenciálně. Už před polovinou cesty se od exponenciály začne odklánět, v polovině ke stropu K roste nejrychleji a pak se ohne a ke stropu se jen pomalu přibližuje. Potíž je v tom, že z úvodní části grafu nepoznáte, jestli se díváte na exponenciálu, nebo na S-křivku. To se ukáže až později.

Podle stejného vzoru může hodnota i klesat. Stačí, aby se hodnota v každém období násobila číslem menším než jedna, jako u epidemie s R = 0,8. Učebnicovým příkladem je radioaktivní rozpad. Místo doby zdvojení se tu mluví o poločasu rozpadu, tedy o době, za kterou se rozpadne polovina látky. Radioaktivní cesium 137 má poločas rozpadu zhruba 30 let. Po 30 letech z něj zbude polovina, po 60 letech čtvrtina, po 90 letech osmina. Matematicky vzato se jen půlí a půlí a na nulu nikdy neklesne. Látka se ale skládá z atomů, a tak se z gramu cesia po zhruba dvou tisících letech rozpadne i poslední z nich.

Viz také

• Exponenciální funkce
• Logaritmy
• Složený úrok