Crescimento exponencial
Uma antiga lenda conta que o inventor do xadrez pediu ao rei uma recompensa modesta: um grão de arroz na primeira casa do tabuleiro, dois na segunda, quatro na terceira e, em cada casa seguinte, o dobro do que havia na anterior. O rei teria rido de como o sábio queria tão pouco e mandou trazer um saco de arroz. Mas riu cedo demais.
Na primeira casa há 1 grão, ou seja, 20. Na segunda 21 = 2, na terceira 22 = 4, na quarta 23 = 8. O expoente é uma unidade menor que o número da casa, então na última casa, a 64ª, há
grãos. Isso é mais de nove quintilhões. Só que essa é apenas a última casa, e nos interessa o tabuleiro inteiro. Somando todas as casas, obtemos
ou seja, exatamente 18.446.744.073.709.551.615 grãos.
Por que justamente 264 − 1? Confira nas primeiras casas: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. A soma é sempre uma unidade menor que o número de grãos da casa seguinte.
Um grão de arroz descascado pesa cerca de 20 miligramas, então mil grãos pesam cerca de 20 gramas. Vamos calcular quanto pesaria o tabuleiro inteiro:
O tabuleiro inteiro pesaria cerca de 369 bilhões de toneladas de arroz. O mundo inteiro, por outro lado, cultiva por ano cerca de 540 milhões de toneladas de arroz descascado. Para quantos anos de colheita mundial isso bastaria? O quociente dos dois números:
O rei teria de entregar ao inventor todo o arroz que a humanidade colhe em mais de seiscentos anos. O mais interessante é por quanto tempo isso parece inocente: toda a primeira metade do tabuleiro, 32 casas, dá no total 232 − 1, ou seja, cerca de 4,3 bilhões de grãos. Isso dá em torno de 86 toneladas, alguns caminhões. O resto é despejado só na segunda metade do tabuleiro.
Adição contra multiplicação
Se algo cresce de modo que a cada passo se soma o mesmo número, falamos de crescimento linear. Se, ao contrário, a cada passo se multiplica pelo mesmo número, é crescimento exponencial. No tabuleiro era a multiplicação por dois.
Os pais oferecem ao Pedro duas opções de aumentar a mesada dele. Agora ele recebe R$ 300 por mês e, ou lhe aumentam a mesada todo mês em R$ 100, ou em 10%. Cem reais, ou apenas dez por cento de trezentos, ou seja, trinta? A escolha parece clara.
No primeiro mês realmente confere. Com a adição, Pedro recebe 300 + 100 = 400 reais; com a multiplicação, 300 · 1,1 = 330 reais. Em meio ano, a adição dá R$ 900 e a multiplicação cerca de R$ 531. Só que os dez por cento são calculados sobre uma quantia cada vez maior, então os acréscimos crescem, enquanto os cem reais continuam sendo cem reais. No 23º mês a multiplicação ultrapassa a adição e, a partir daí, só se afasta dela: depois de três anos, Pedro receberia R$ 3.900 com a adição e mais de R$ 9.200 com a multiplicação. E depois de quatro anos, R$ 5.100 contra cerca de R$ 29.100 por mês.
A reta azul fica à frente por um tempo, mas a curva vermelha sobe cada vez mais depressa. Isso vale em geral: o crescimento exponencial, mais cedo ou mais tarde, ultrapassa qualquer crescimento linear; a questão é só quando.
Todo o crescimento exponencial cabe em uma só fórmula
em que N0 é o valor inicial, q é o número pelo qual se multiplica a cada período e t é o número de períodos decorridos. No caso do Pedro, N0 = 300 e q = 1,1, porque acrescentar 10% significa multiplicar pelo número 1,1. Depois de 36 meses obtemos
No tabuleiro, N0 = 1 e q = 2. A variável t está no expoente, então se trata de uma função exponencial. Lá você encontra também as bactérias que se dividem ao meio.
Em quanto tempo isso dobra?
No crescimento exponencial, é útil perguntar em quanto tempo o valor dobra. Esse tempo de duplicação não muda, não importa quando comecemos. Se algo dobra em dez anos, em mais dez anos dobra de novo e, em vinte anos, é quatro vezes mais.
Para estimar, serve um truque simples, a regra do 70: se algo cresce p por cento por período, dobra aproximadamente em
períodos. Se os preços na loja sobem 7% por ano, dobram em cerca de 70:7 = 10 anos. Um pão francês que hoje custa R$ 0,80 custaria, em dez anos, quase R$ 1,60. O dinheiro aplicado com juros de 3% ao ano, ao contrário, dobra em cerca de 70:3 ≈ 23 anos. Isso porque os juros são calculados também sobre os juros anteriores, e por isso se trata de juros compostos, ou seja, de novo crescimento exponencial.
Por que justamente setenta? Descobrimos o tempo exato de duplicação com o logaritmo. Procuramos o t que resolve a equação exponencial
Aplicamos o logaritmo à equação, com o que o expoente passa para a frente do logaritmo:
Agora basta dividir:
Os preços dobrariam, portanto, em pouco menos de dez anos e um quarto, e a regra do 70 acertou quase em cheio. O setenta vem do fato de o quociente de dois logaritmos ser o mesmo, seja qual for a base do logaritmo. Com o logaritmo natural ln e um crescimento geral de p por cento, obtemos
porque, para porcentagens pequenas,
Aguapés no lago
Antes de ler adiante, tente resolver sozinho este quebra-cabeça. Em um lago crescem aguapés, e a cada dia há o dobro deles em relação ao dia anterior. Em 30 dias eles cobrem o lago inteiro. Em que dia metade do lago estava coberta?
A resposta que se oferece é o 15º dia, afinal quinze é a metade de trinta. Só que o número de aguapés dobra por dia, então, se no 30º dia o lago inteiro está coberto, no dia anterior ele precisava estar coberto pela metade. Metade do lago estava sob os aguapés no 29º dia.
Se formos ainda mais para trás no tempo: no 28º dia estava coberta uma quarta parte, no 27º um oitavo, no 26º um dezesseis avos, no 25º apenas cerca de 3% da superfície. Quem fosse olhar o lago no 25º dia veria água quase limpa e concluiria que há tempo de sobra. E em apenas cinco dias o lago está completamente tomado.
É exatamente isso que é traiçoeiro no crescimento exponencial. Durante a maior parte do tempo ele parece inocente e, quando já é visível a olho nu, restam só algumas duplicações até o fim.
Epidemia
Uma doença também pode se espalhar no mesmo ritmo. Digamos que hoje há 100 pessoas infectadas na cidade e o número de casos dobra a cada três dias. Em 30 dias ele dobra, portanto, dez vezes:
De cem doentes passamos, em um mês, a mais de cem mil. Por isso os epidemiologistas pressionam por medidas quando os números ainda são pequenos e as pessoas acham que nada está acontecendo. É que estamos no lago, no 25º dia.
A rapidez com que a doença se espalha é descrita pelo número de reprodução R. De forma simplificada: quantas outras pessoas, em média, um doente infecta. Se R = 2, cada um infecta duas outras, essas duas infectam quatro, e cada “geração” de doentes é duas vezes mais numerosa. Se uma geração dura cerca de três dias, voltamos exatamente ao exemplo acima. Quando se consegue baixar R para menos de um, por exemplo para 0,8, o número de doentes em cada geração é multiplicado por um número menor que um e a epidemia enfraquece. De 100 infectados, na décima geração são infectadas apenas cerca de
pessoas.
A diferença entre R = 0,8 e R = 2 parece pequena. Depois de dez gerações, porém, ela se torna um abismo entre onze e cento e dois mil doentes.
Dobre uma folha de papel quarenta e duas vezes
Pegue uma folha de papel, de espessura de cerca de um décimo de milímetro. Dobre-a ao meio e você tem duas camadas, ou seja, dois décimos de milímetro. Dobre-a de novo e você tem quatro camadas. Cada dobra duplica a espessura. Qual seria a espessura do papel depois de 42 dobras?
A Lua está a uma distância da Terra, em média, de cerca de 384.000 km. O papel dobrado quarenta e duas vezes chegaria até ela e ainda passaria um pouco.
Você não precisa experimentar; de qualquer modo, não dá para dobrar uma folha de papel com as mãos mais de sete vezes. Depois de sete dobras ela tem 128 camadas e tem pouco menos de 1,3 cm de espessura, além de ficar cada vez menor e mais dura. O recorde é de treze dobras e, para ele, foi necessária uma tira de cerca de 16 km de papel higiênico.
Por que esse número nos parece absurdo? A intuição se sai bem com a adição. Quando imaginamos 42 passos, imaginamos 42 passos iguais lado a lado. Aqui, porém, cada passo acrescenta tanto quanto é a espessura de todo o papel até então. Depois de dez dobras o papel tem cerca de 10 cm de espessura, depois de vinte mais de 100 m e depois de trinta já alcança 107 km de altura. E as últimas doze dobras, com as quais o papel chega à Lua, são simplesmente mais doze duplicações.
Não dura para sempre
Se os aguapés continuassem a se multiplicar no mesmo ritmo, no 31º dia cobririam dois lagos e, no 40º dia, mil lagos. Claro que não funciona assim. O lago tem apenas uma área limitada, as bactérias têm uma quantidade limitada de alimento e a doença não tem quem infectar quando a maioria das pessoas já a teve. Na natureza, o crescimento exponencial dura só até o momento em que começam a faltar espaço ou recursos.
Então o crescimento desacelera e o valor se aproxima de um teto que o ambiente consegue sustentar. O gráfico de um crescimento assim parece uma letra S alongada, por isso é chamado de curva em S, tecnicamente crescimento logístico.
No início as duas curvas quase não diferem. Há recursos suficientes, então nada freia, e a curva em S cresce exponencialmente. Já antes da metade do caminho ela começa a se afastar da exponencial; na metade do caminho até o teto K ela cresce mais rápido e depois se curva e só lentamente se aproxima do teto. O problema é que, pela parte inicial do gráfico, não dá para saber se você está olhando para uma exponencial ou para uma curva em S. Isso só se revela mais tarde.
Segundo o mesmo padrão, o valor também pode diminuir. Basta que o valor, em cada período, seja multiplicado por um número menor que um, como na epidemia com R = 0,8. Um exemplo de livro didático é o decaimento radioativo. No lugar do tempo de duplicação, fala-se aqui de meia-vida, isto é, do tempo em que se desintegra metade da substância. O césio-137 radioativo tem meia-vida de cerca de 30 anos. Depois de 30 anos resta metade dele, depois de 60 anos um quarto, depois de 90 anos um oitavo. Matematicamente falando, ele só se divide ao meio e ao meio e nunca chega a zero. Mas a substância é feita de átomos, e assim, de um grama de césio, depois de cerca de dois mil anos desintegra-se também o último deles.
